浅薄哲学（20）哥德尔不完备性定理

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说到这个定理，我似乎应该比讲双缝干涉实验要自信点，毕竟我还算是半个科班。是的，我是数学系的，而且我差点就读了数理逻辑这个方向。只不过当年在做出选择之前我临阵脱逃了。说到哥德尔这个定理，包含着不少笔者的往事。。

笔者读本科的时候，图书馆有一本汪芳庭的《数理逻辑》，当时那本书虽然出版年份很老，却明显没什么人翻过，一年以后那本书就不见了，在图书馆电子系统搜索一下，查到了“修缮中”的状态，才知道那本书被我翻烂了o>_

后来还跟着一个老师学习数理逻辑，去了新加坡一趟。不过当时带我的老师自己是搞集合论的，对哥德尔定理不算特别感兴趣，感觉他觉得这个定理是trivial的，而且他对这个定理的哲学含义也不感兴趣。某种意义上，他对哲学也没有表现出兴趣，倒是很符合数学系鄙视哲学系的这个鄙视链。每次说到他当年在美国，因为学数理逻辑，还修过哲学课，表情总是那么地调侃。

后来见了一个新加坡的老师，他讲了当前递归论最热门的问题，我听了感觉和我想象的数理逻辑也有些差距，再加上他自己也明言他不知道这些问题有什么深刻的意义（话说这么诚实的老师还是蛮少见的），后来我也就不敢读这个方向。

应该说，笔者对哥德尔定理感兴趣是因为2008年时看了Penrose一本书《皇帝新脑》，这本书认为，哥德尔定理的存在说明人脑比一般图灵机要聪明。作者是一个在圈子里有名望但观点有点特立独行的学者。他在天文学上和霍金合作过，又自己搞出了一个彭罗斯镶嵌的东西。

我们今天经常听到有些人这么评论某学者“这个人学术水平确实颇高，但是却经常发表不负责任的言论”，如果Penrose在中国，大概就是这么个评价。他的观点真的特别清奇。我当年看菲尔兹奖得主Lions写的一本好像是泛函的书，序言还批斗过Penrose关于图灵机的那些胡言乱语。

后来Penrose又写了一本《Shadows of Mind》，他写这本书的目的是想严格证明人类比图灵机聪明。我本来有这本书，但是从来都没静得下心读过，所以我也没办法亲自评价这本书。也许以后有机会？反正这本书引起了争论，最后似乎谁都不服谁，所以也就不了了之。在学术圈，特别是讨论最时新的问题，这些是常态。

Penrose认为在量子力学的框架下，有一些运作机制本身是不可计算性的，这里可计算性和图灵可计算性是等价的，这是一个无法证明但是普遍承认的命题，叫做图灵--丘奇命题。而人脑正是采用这种本质上不可计算的方式来运作。

好的，说说正题。在数理逻辑里边，有另一个版本的二元论，不过这种“二元论”被普遍地接受，那就是语法和语义的分离，这里的语法和语义和语言学里所说的似乎也是有差别的。总的来说，语法研究的是一些逻辑符号；而语义研究的是这些逻辑符号背后的含义。

一开始，那些数理逻辑的先驱在考虑的问题是，能否提出有限个公理，有限个推理规则，然后世间一切正确的命题都可以通过这有限个公理得到。这些公理，在逻辑规则的作用下，会变换出各种形式，而这些形式的变换是机械的，不需要理解的介入的。这就是不介入语义学的语法学。现在想问的就是，这种机械的，不带理解的变换，能否产生世间一切正确的命题。

一阶命题系统和一阶谓词系统都被证明是完备的。这意味着一个机器就可以同等效力地产生所有正确的命题。然而，假如这个逻辑系统包含了算术，事情就变得困难起来。而实际上，这个困难是本质的。

哥德尔定理证明的思路是这样的。首先要有一个包含算术的逻辑系统，接着，他对这个逻辑系统所有可能的命题都进行了编码。记住，编码是语义学而不是语法学的。编码不是这个逻辑系统能理解的，而是外边的人赋予的这个逻辑系统的含义。比方“3+5！=3*5”就是第10004256348号命题之类的。

接着，哥德尔找到了这么一系列的命题，这些命题，从系统里边来看，就是一些很复杂的逻辑符号，但是从外面来看，人们知道它表达的是“第x个命题无法在本系统之中被证明”。接着，在这一系列命题里，人们又找到了一个这样的命题，这个命题是第n号，但从外面来看，它表达的是“第n个命题无法在本系统之中被证明”。

假如这个命题被证明了，那说明这个系统证明了一个错的命题，那这个系统是不靠谱的。所以这个系统证明不了这个命题，也说明这个命题（从外面来看）是真的，如果这个系统是靠谱的，它也不可能证明这个命题的反命题，因为它的反命题是假的。这就是一个系统无法证明的真命题了。

总的来说，一开始数理逻辑界的人想做的是，能不能找到有限个公理，再加上逻辑上的规则，使得所有的数学命题都可以在这个系统当中推出。只不过哥德尔证明了这是不可能的，对于特定的系统，人们总是可以基于理解得到一个在系统里证明不了的真命题。因为这对任何一个包含算术的逻辑系统都是成立的，也可以看出人类的理解力超越了有限个公理和固定推理规则所得到的命题。

不过人类是否超越图灵机是另一回事。图灵机是稍微晚点的概念，虽然它的证明方式和哥德尔定理类似，但得到的结果却差别很大。

关于哥德尔定理的含义，争论是非常激烈的。哥德尔本人认为哥德尔定理至少说明以下两者至少一者为真“1. 数学真理远多于人类的认知；2. 人类的思考能力无法还原为有限公理在有限规则下的作用”。

很多没什么想象力的人都认为哥德尔定理只在数学当中有意义，没有一般的哲学含义；另一些人则认为它意义非凡，说明人类在做数学推理时，肯定要运用到理解力，不可能只用一些机械的方法就得到所有可能的真命题。我比较倾向于后面一种观点。但是，既然这个问题在争议中，也说明它还没有一个确定的答案。

这就是关于这个不完备性定理的一个飞速介绍，后边我要谈一谈一些异常体验的事情。