从2-3树理解红黑树

说起红黑树就头痛，在大学时就没搞懂，看的晕晕乎乎，理解不了。直到前几天在极客时间的《数据结构与算法之美》专栏中的《26 | 红黑树（下）：掌握这些技巧，你也可以实现一个红黑树
》，再次看到讲解红黑树插入删除如何保持平衡，很可惜，还是没看明白。但在留言区看到小伙伴推荐的红黑树是2-3树的变形，以2-3树的角度去理解红黑树就容易多了。于是，就跑去看了2-3树相关的文章，发现理解起来是要简单些。

2-3树定义

一般我们接触最多的是二叉树，也就是一个父节点最多有两个子节点。2-3树的意思就是说，一个父节点可以有两个子节点，也可以有三个子节点，并且其也满足类似二叉搜索树的定义（父节点的值大于左子树，但小于右子树），所有叶子节点都在同一层。

2节点：父节点存储一个值，最多有左右两个子树。假设父节点为p，子节点为l(左节点)、r(有节点)，且满足：

l < p < r

如图所示：

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3节点：父节点存储两个值，最多有左中右三个子树。假设父节点分别为p1,p2，子节点分别为l(左节点)、m(中间节点)、r(右节点)，且满足：

l < p1
p1 < m < p2
r > p2

如图所示：

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2-3树的查找

跟BST的查找类似：

从根节点开始比较，若相等，则结束。如果小于根节点，则说明它应该在左边，选定左节点进行比较；如果大于根节点，则说明在右边，选定右节点进行比较，如不相等，则继续循环。如到最后访问到空节点，则说明没找到。

只不过对于3节点的情况，就需要判断左中右子树，原理一样。

下面以这颗树举例说明，要查找的值存在和不存在的情况。

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值存在

查找5。

对比根节点10。由于5<10，查找左子树。
由于4<5<7，所以需要找中间的子树。
节点值=5，查找结束。

值不存在

查找24。

对比根节点。由于24>10，查找右子树。
24>20，继续查找右子树。
24>22，查找右子树。
节点为空，查找结束，未找到。

节点分裂与合并

在将插入之前，先介绍一下节点分裂与合并。

2-3树只能存在2节点和3节点，由于插入的时候会引入4节点，所以我们需要将其分裂。

节点分裂

比如单个4节点，只需将中间节点往上提，左边值作为其左子树，右边值作为其右子树即可。

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节点合并

比如有父节点的4节点，节点分裂后，需与父节点进行合并。若合并后父节点还是4节点，则继续分裂，直至满足定义为止。下图中6与3合并后，满足条件，无需再进行操作。

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2-3树的插入

插入一个节点后，也要满足2-3树的定义。我们需要找到一个适合的位置来插入新的值，但是和二叉树不同的是，它不会生成新的叶子节点来存储，而是找到合适的叶子节点来进行合并。

但是注意，插入的原则是尽量保持树的高度，也就是尽量不要增加树的高度。因为树的高度越小，查找效率会更高。

下面分几种情况来说明不同的处理情况。其关键字是往上分裂，从下往上生长。

空树

生成新节点，则其为根节点。

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待插入节点为2节点

如果不能直接放到空的子节点，则放到父节点中，此时成为3节点，仍然满足定义。比如我们在这棵树中插入12。

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首先找到待插入节点9。

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节点9为2节点，可直接插入。

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待插入节点为3节点

这种情况下，稍微会复杂一些，因为涉及到分裂，且跟待插入节点的父节点有关。假定待插入节点为p，待插入节点的父节点为pp。

将节点强插到p中，此时p中会有三个值，我们暂且称之为4节点。4节点是不满足2-3树的定义的，因此需要将4节点中的某个节点往上抽离，与pp进行合并。这时需要考虑pp的类型了。

若pp为二节点

将分裂的节点放到pp中，则pp成为3节点，满足定义。比如我们在这棵树中插入13。

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找到待插入叶子节点[9,12]

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插入13，变成4节点

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进行分裂，合并到父节点，插入完成

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若pp为三节点

将分裂的节点放到pp中，则pp成为了4节点，不满足定义，那么4-节点需要提出一个值，并向上合并，这时需要重新设置新旧节点的关系。往上合并的过程就是继续套用这几种情况。好的情况是往上的过程中遇到了2节点，且平衡，则结束；坏的情况是一直到根节点，并且根节点是3树，那么只好继续往上分裂出新的根节点，然后处理新节点与其他节点的关系，此时树高增加了1。

比如在这颗树中插入18。