动态规划

动态规划解决问题需要满足一下两个条件：

(1)状态必须满足最优化原理
(2)状态必须满足无后效性

   最优化原理：一个最优策略的子策略，对于它的初态和终态而言也必是最优的。

     这个“最优化原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是：假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决策D1，D2，…，Dn，如若这个决策序列是最优的，对于任何一个整数k，1 < k < n，不论前面k个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策Dk+1，Dk+2，…，Dn也是最优的

   无后效性是指：“未来的发展只能通过当前状态影响，当前的状态是对以往决策的总结”。

【例题1】最短路径问题。图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?

动态规划_第1张图片 

【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。用dk(xk，xk+1)表示在第k阶段由初始状态xk到下阶段的初始状态xk+1的路径距离，Fk(xk)表示从第k阶段的xk到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。具体计算过程如下：

S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3

S2: K=3，有：

F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8

F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8

F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11

F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6

S2: K=2，有：

F2(B1)=min{d2(B1,C1)+F3(C1),d2(B1,C2)+f3(C2),d2(B1,C3)+F3(C3)}=min{9,12,14}=9

F2(B2)=min{d2(B2,c2)+f3(C2),d2(B2,C4)+F3(C4)}=min{16,10}=10

S4：k=1，有：

F1(A)=min{d1(A,B1)+F2(B1),d1(A,B2)+F2(B2)}=min{13,13}=13

因此由A点到E点的全过程的最短路径为A—>B2一>C4—>D3—>E。最短路程长度为13。