矩阵分析学习笔记（二）-矩阵的分解

满秩分解

如果矩阵的行（列）向量组线性无关，则称为行（列）满秩矩阵。

定理：设是矩阵，A的秩为，则存在列满秩Ｆ和行满秩，使，称为矩阵的满秩分解。

设，则

例：设，求的满秩分解。

解：先用初等行变换将化为简化阶梯型矩阵。

其中是行满秩矩阵；

线性无关，且。由于初等行变换保持列向量线性组合关系，故线性无关，且。

取是列满秩矩阵，

则

定理二：（正交满秩分解定理）设是阶实矩阵，的秩为，则存在列正交矩阵和行满秩矩阵的阶矩阵，使得。其中，列正交含义为。