高数——不定积分与定积分——学习笔记（24）

不定积分存在的实际意义

不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子）。

定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字） 不定积分是微分的逆运算， 而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减。

积分时，一个积累起来的分数,现在网上,有很多的积分活动.象各种电子邮箱,qq等.

在微积分中， 积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数（不定积分相当于导函数，原函数相当于微分。）.

在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的.一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数.

不定积分的格式为

F(x)+c=∫ f(x)dx (其中c是常数,F(x)是F(x)+c的一个特例)

如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。也就是说：已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

不定积分学习难度

知原函数然后求导，求不定积分是已知导数求原函数。

然而求一个函数的导函数往往很好求，求导甚至不需要知道具体的表达式（如隐函数的求导），但反过来求不定积分，就不是那么容易了。所以一些基本函数与其导函数的转化关系一定要熟，当已知导函数，立刻想到其原函数，问题便会迎刃而解。所以导数与原函数的对应关系（即所谓的常用导数表或积分表），一定要熟。根据原始的不定积分定义，求不定积分，就得熟知积分表，抛开它就无法下手。

若其存在原函数，那么原函数一共有多少个呢？

我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，

即：F'(x)=f(x)，

则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，

故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个.

如果定义在（a,b）上的函数F（x）和f（x）满足条件：对每一x∈（a,b），F′（x）＝f（x）。则称F（x）为f（x）的一个原函数。例如，x3是3x2的一个原函数，易知，x3＋1和x3＋2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的，例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v＝v(t),要求它的运动规律 ，就是求v＝v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。

不定积分，定积分，原函数之间的关系

不定积分是所有原函数的称呼，可以理解为同一个东西，是微分的逆问题，而定积分是另一件事情。但是，函数 f（x）的定积分与这个函数的原函数F(x) 是紧密联系的. 定积分是由函数话f(x)确定的的某个值（一个数），而原函数F(x)是一个函数，它的导数是f(x)，而不定积分是所有的原函数。计算一个函数的定积分，往往要用到原函数或者说不定积分，这个关系由基本定理给出。

不定积分的结果是一个表达式，定积分的结果是常数，不定积分是求被积函数的原函数。

不定积分是一个函数集(各函数只相差一个常数),它就是所积函数的原函数(个数是无穷)

至于定积分(它是一个数,常数),它可以通过不定积分来求得(牛顿莱布尼茨公式)

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