分支定界 （branch and bound）求解TSP问题

1、方法简介
好久没更新啦，最近在专注看看分支定界，列生成，分支定价算法，并动手实现去求解一些简单的问题。分支定界我理解就是一种有规律的枚举，所以它是可以求出精确的解。分支定界几个关键点就是设定界限函数，随着搜索的过程中逐渐更新界限，直至上界和下界重合；构建节点表，在每个分支的过程中需要将信息记录下来，按照某一个标准在节点表里储存，后续取点删点。

处理流程

2、方法应用
下边以bb在求解tsp中的应用来说明，不同问题思路相近，大同小异。求解步骤如下：
（1）规约费用矩阵。即使费用矩阵中每一行每一列都包含0元素，此时规约系数就是该问题的一个下界。

费用矩阵规约过程

（2）选择分支边。在（a,b)处分支可以有两个选择：一个是选择从a点到b点；另外就是选择从a点不到b点。如果选择了a到b那就就应该从费用矩阵里将第a行和第b列对应的费用值剔除，因为tsp问题里每一个点只能经过一次。然后还有防止路径成环修改其他的费用值，这个后边专门说。如果选择a点不到b点，表明a，b点都没有被选，只需要将费用矩阵里（a，b）对应的费用值改为正无穷即可，表明后续不再选择a点到b点。
（3）将每个分支的矩阵加入优先队列中，按照下界从小到大排序。每次分支后，从优先队列里选择下界最小的那张表进行后续分支。
（4）防止成环处理。防止成环，也就是说所有点还没有访问完就回到起点，即第一次分支选择点a到点b，第二次分支选择点b到点c，那么后续分支中如果选择点c到点a，那么就会形成a，b，c的环路。导致解是不可行的，因此需要做出修改。

防止成环操作

3、算法实现

Point类
public class point  {
    public double c[][];//费用矩阵
    public int rowNumber[];// 费用矩阵的行号
    public int colNumber[];//费用矩阵对应的列号
    public int ad[];//路径
    public int k;// 阶数
    public double lowbound;// 下界
    public point(int count){
        c=new double[count][count];
        rowNumber=new int[count];
        colNumber=new int[count];
        ad=new int[Main.city];
        k=count;
    }
}

public class BBTSP  {
    public static int n=Main.city;
    /**
     * 计算某一行最小值和次小值
     * @param p 点
     * @param row p的第row行
     * @return 返回 第row行的最小值和次小值
     */
    double[] row_min(point p,int row){
        double result[]=new double[2];
        if(p.c[row][0] d) {
                        d = temp;
                        result[0] = d;
                        result[1] = i;
                        result[2] = j;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }

    /**
     * 修改费用矩阵，删除对应行和列
     * @param p  点
     * @param vk 第vk行
     * @param vl 第vl列
     * @return  返回修改后的点
     */
    point del_rowcolnew(point p,int vk,int vl){
        point result=new point(p.k-1);
        result.k=p.k-1;
        int i=0;
        int j=0;
        int r,c;
        for(r=0;r=0&&vl>=0){
            p.c[vl][vk]=Double.MAX_VALUE;
        }
        int e=vk1;
        int s=vl1;
        int c=0;
        while(c-1){
                    s=p.ad[i];
                    break;
                }
            }
            break;
        }
        int d;
        for(c=0;c

以28个点的tsp为例，测试结果如下：

测试结果