Python小白数据科学教程：NumPy (下)

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本文作者：王圣元

转载自：王的机器

本文偏长（1.8w+字），老表建议先收藏，然后转发朋友圈，然后吃饭、休闲时慢慢看，基础知识重在反复看，反复记，反复练。

接着

4

数组的变形

本节介绍四大类数组层面上的操作，具体有

1. 重塑 (reshape) 和打平 (ravel, flatten)

2. 合并 (concatenate, stack) 和分裂 (split)

3. 重复 (repeat) 和拼接 (tile)

4. 其他操作 (sort, insert, delete, copy)

4.1

重塑和打平

重塑 (reshape) 和打平 (ravel, flatten) 这两个操作仅仅只改变数组的维度

• 重塑是从低维到高维

• 打平是从高维到低维

重塑

用reshape()函数将一维数组 arr 重塑成二维数组。

arr = np.arange(12)	
print( arr )	
print( arr.reshape((4,3)) )

[ 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11]

[[ 0  1  2]
 [ 3  4  5]
 [ 6  7  8]
 [ 9 10 11]]

思考：为什么重塑后的数组不是

[[ 0  4  8]
 [ 1  5  9]
  [ 2  6 10]
   [ 3  7 11]]

当你重塑高维矩阵时，不想花时间算某一维度的元素个数时，可以用「-1」取代，程序会自动帮你计算出来。比如把 12 个元素重塑成 (2, 6)，你可以写成 (2,-1) 或者 (-1, 6)。

print( arr.reshape((2,-1)) )	
print( arr.reshape((-1,6)) )

[[ 0  1  2  3  4  5]
 [ 6  7  8  9 10 11]]

[[ 0  1  2  3  4  5]
 [ 6  7  8  9 10 11]]

打平

用 ravel() 或flatten() 函数将二维数组 arr 打平成一维数组。

arr = np.arange(12).reshape((4,3))	
print( arr )	

	
ravel_arr = arr.ravel()	
print( ravel_arr )	

	
flatten_arr = arr.flatten()	
print( flatten_arr )

[[ 0  1  2]
 [ 3  4  5]
 [ 6  7  8]
 [ 9 10 11]]

[ 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11]

[ 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11]

思考：为什么打平后的数组不是

[ 0 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 11]

要回答本节两个问题，需要了解 numpy 数组在内存块的存储方式。

行主序和列主序

行主序 (row-major order) 指每行的元素在内存块中彼此相邻，而列主序 (column-major order) 指每列的元素在内存块中彼此相邻。

在众多计算机语言中，

• 默认行主序的有 C 语言(下图 order=‘C’ 等价于行主序)

• 默认列主序的有 Fortran 语言(下图 order=‘F’ 等价于列主序)

在 numpy 数组中，默认的是行主序，即 order ='C'。现在可以回答本节那两个问题了。

如果你真的想在「重塑」和「打平」时用列主序，只用把 order 设为 'F'，以重塑举例：

print( arr.reshape((4,3), order='F') )

[[ 0  1  2]
 [ 3  4  5]
 [ 6  7  8]
 [ 9 10 11]]

---

细心的读者可能已经发现为什么「打平」需要两个函数 ravel() 或 flatten()？它们的区别在哪里？

知识点

函数  ravel()  或 flatten() 的不同之处是

1. ravel() 按「行主序」打平时没有复制原数组，按「列主序」在打平时复制了原数组

2. flatten() 在打平时复制了原数组

用代码验证一下，首先看 flatten() ，将打平后的数组 flatten 第一个元素更新为 10000，并没有对原数组 arr 产生任何影响 (证明 flatten()  是 复制了 原数组)

arr = np.arange(6).reshape(2,3)	
print( arr )	
flatten = arr.flatten()	
print( flatten )	
flatten_arr[0] = 10000	
print( arr )

[[0 1 2]
 [3 4 5]]

[0 1 2 3 4 5]

[[0 1 2]
 [3 4 5]]

再看  ravel() 在「列主序」打平，将打平后的数组 ravel_F 第一个元素更新为 10000，并没有对原数组 arr 产生任何影响 (证明  ravel(order='F')  是 复制了 原数组)

ravel_F = arr.ravel( order='F' )	
ravel_F[0] = 10000	
print( ravel_F )	
print( arr )

[10000     3     1     4     2     5]

[[0 1 2]
 [3 4 5]]

最后看  ravel()  在「行主序」打平，将打平后的数组 ravel_C 第一个元素更新为 10000，原数组 arr[0][0] 也变成了 10000 (证明  ravel()  没有复制 原数组)

ravel_C = arr.ravel()	
ravel_C[0] = 10000	
print( ravel_C )	
print( arr )

[10000     1     2     3     4     5]

[[10000     1     2]
 [    3     4     5]]

4.2

合并和分裂

合并 (concatenate, stack) 和分裂 (split) 这两个操作仅仅只改变数组的分合

• 合并是多合一

• 分裂是一分多

合并

使用「合并」函数有三种选择

1. 有通用的 concatenate

2. 有专门的 vstack, hstack, dstack

3. 有极简的 r_, c_

用下面两个数组来举例：

arr1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])	
arr2 = np.array([[7, 8, 9], [10, 11, 12]])

concatenate

np.concatenate([arr1, arr2], axis=0)	
np.concatenate([arr1, arr2], axis=1)

[[ 1  2  3]
 [ 4  5  6]
 [ 7  8  9]
 [10 11 12]]

[[ 1  2  3  7  8  9]
 [ 4  5  6 10 11 12]]

在 concatenate() 函数里通过设定轴，来对数组进行竖直方向合并 (轴 0) 和水平方向合并 (轴 1)。 

vstack, hstack, dstack

通用的东西是好，但是可能效率不高，NumPy 里还有专门合并的函数

• vstack：v 代表 vertical，竖直合并，等价于 concatenate(axis=0)

• hstack：h 代表 horizontal，水平合并，等价于 concatenate(axis=1)

• dstack：d 代表 depth-wise，按深度合并，深度有点像彩色照片的 RGB 通道

一图胜千言：

用代码验证一下：

print( np.vstack((arr1, arr2)) )	
print( np.hstack((arr1, arr2)) )	
print( np.dstack((arr1, arr2)) )

[[ 1  2  3]
  [ 4  5  6]
  [ 7  8  9]
  [10 11 12]]
-----------------------
[[ 1  2  3  7  8  9]
  [ 4  5  6 10 11 12]]
-----------------------
[[[ 1  7]
    [ 2  8]
    [ 3  9]]

  [[ 4 10]
    [ 5 11]
    [ 6 12]]]

和 vstack, hstack 不同，dstack 将原数组的维度增加了一维。

np.dstack((arr1, arr2)).shape

(2, 3, 2)

r_, c_

此外，还有一种更简单的在竖直和水平方向合并的函数，r_() 和 c_()。

print( np.r_[arr1,arr2] )	
print( np.c_[arr1,arr2] )

[[ 1  2  3]
 [ 4  5  6]
 [ 7  8  9]
 [10 11 12]]

[[ 1  2  3  7  8  9]
 [ 4  5  6 10 11 12]]

除此之外，r_() 和 c_() 有什么特别之处么？(如果完全和 vstack() 和hstack() 一样，那也没有存在的必要了)

知识点

1 . 参数可以是切片。

print( np.r_[-2:2:1, [0]*3, 5, 6] )

[-2 -1  0  1  0  0  0  5  6]

2 . 第一个参数可以是控制参数，如果它用 'r' 或 'c' 字符可生成线性代数最常用的 matrix (和二维 numpy array 稍微有些不同)

np.r_['r', [1,2,3], [4,5,6]]

matrix([[1, 2, 3, 4, 5, 6]])

3 . 第一个参数可以是控制参数，如果它写成 ‘a,b,c’ 的形式，其中

a：代表轴，按「轴 a」来合并

b：合并后数组维度至少是 b

c：在第 c 维上做维度提升

看不懂吧？没事，先用程序感受一下：

print( np.r_['0,2,0', [1,2,3], [4,5,6]] )	
print( np.r_['0,2,1', [1,2,3], [4,5,6]] )	
print( np.r_['1,2,0', [1,2,3], [4,5,6]] )	
print( np.r_['1,2,1', [1,2,3], [4,5,6]] )

[[1]
  [2]
  [3]
  [4]
  [5]
  [6]]
----------------
[[1 2 3]
  [4 5 6]]
----------------
[[1 4]
  [2 5]
  [3 6]]
----------------
[[1 2 3 4 5 6]]

还看不懂吧 (但至少知道完事后的维度是 2 ，即字符串 ‘a, b ,c’ 的 b 起的作用 )？没事，我再画个图。

还没懂彻底吧？没事，我再解释下。

字符串 ‘a,b,c’ 总共有四类，分别是

• '0, 2, 0'

• '0, 2, 1'

• '1, 2, 0'

• '1, 2, 1'

函数里两个数组 [ 1 , 2 , 3 ], [ 4 , 5 , 6 ] 都是一维

• c = 0 代表在「轴 0」上升一维，因此得到 [[1],[2],[3]] 和 [[4],[5],[6]] 

• c = 1 代表在「轴 1」上升一维，因此得到 [[1,2,3]] 和 [[4,5,6]]

接下来如何合并就看 a 的值了

• a = 0, 沿着「轴 0」合并

• a = 1, 沿着「轴 1」合并

分裂

使用「分裂」函数有两种选择

1. 有通用的 split

2. 有专门的 hsplit, vsplit

用下面数组来举例：

arr = np.arange(25).reshape((5,5))	
print( arr )

[[ 0  1  2  3  4]
 [ 5  6  7  8  9]
 [10 11 12 13 14]
 [15 16 17 18 19]
 [20 21 22 23 24]]

split

和 concatenate() 函数一样，我们可以在 split() 函数里通过设定轴，来对数组沿着竖直方向分裂 (轴 0) 和沿着水平方向分裂 (轴 1)。 

first, second, third = np.split(arr,[1,3])	
print( 'The first split is', first )	
print( 'The second split is', second )	
print( 'The third split is', third )

The first split is [[0 1 2 3 4]]
The second split is [[ 5  6  7  8  9]
 [10 11 12 13 14]]
The third split is [[15 16 17 18 19]
 [20 21 22 23 24]]

split() 默认沿着轴 0 分裂，其第二个参数 [1, 3] 相当于是个切片操作，将数组分成三部分：

• 第一部分 - :1 (即第 1 行)

• 第二部分 - 1:3 (即第 2 到 3 行)

• 第二部分 - 3:  (即第 4 到 5 行)

hsplit, vsplit

vsplit() 和 split(axis=0) 等价，hsplit() 和 split(axis=1) 等价。一图胜千言：

为了和上面不重复，我们只看 hsplit。

first, second, third = np.hsplit(arr,[1,3])	
print( 'The first split is', first )	
print( 'The second split is', second )	
print( 'The third split is', third )

The first split is [[ 0]
                     [ 5]
                     [10]
                     [15]
                     [20]]
The second split is [[ 1  2]
                      [ 6  7]
                      [11 12]
                      [16 17]
                      [21 22]]
The third split is [[ 3  4]
                     [ 8  9]
                     [13 14]
                     [18 19]
                     [23 24]]

4.3

重复和拼接

重复 (repeat) 和拼接 (tile) 这两个操作本质都是复制

• 重复是在元素层面复制

• 拼接是在数组层面复制

重复

函数 repeat() 复制的是数组的每一个元素，参数有几种设定方法：

• 一维数组：用标量和列表来复制元素的个数

• 多维数组：用标量和列表来复制元素的个数，用轴来控制复制的行和列

标量

arr = np.arange(3)	
print( arr )	
print( arr.repeat(3) )

[0 1 2]
[0 0 0 1 1 1 2 2 2]

标量参数 3 - 数组 arr 中每个元素复制 3 遍。

列表

print( arr.repeat([2,3,4]) )

[0 0 1 1 1 2 2 2 2]

列表参数 [2,3,4] - 数组 arr 中每个元素分别复制 2, 3, 4 遍。

标量和轴

arr2d = np.arange(6).reshape((2,3))	
print( arr2d )	
print( arr2d.repeat(2, axis=0) )

[[0 1 2]
 [3 4 5]]

[[0 1 2]
 [0 1 2]
 [3 4 5]
 [3 4 5]]

标量参数 2 和轴 0 - 数组 arr2d 中每个元素沿着轴 0 复制 2 遍。

列表和轴

print( arr2d.repeat([2,3,4], axis=1) )

[[0 0 1 1 1 2 2 2 2]
 [3 3 4 4 4 5 5 5 5]]

列表参数 [2,3,4] 和轴 1 - 数组 arr2d 中每个元素沿着轴 1 分别复制 2, 3, 4 遍。

拼接

函数 tile() 复制的是数组本身，参数有几种设定方法：

• 标量：把数组当成一个元素，一列一列复制

• 形状：把数组当成一个元素，按形状复制

标量

arr2d = np.arange(6).reshape((2,3))	
print( arr2d )	
print( np.tile(arr2d,2) )

[[0 1 2]
 [3 4 5]]

[[0 1 2 0 1 2]
 [3 4 5 3 4 5]]

标量参数 2 - 数组 arr 按列复制 2 遍。

形状

print( np.tile(arr2d, (2,3)) )

[[0 1 2 0 1 2 0 1 2]
 [3 4 5 3 4 5 3 4 5]
 [0 1 2 0 1 2 0 1 2]
 [3 4 5 3 4 5 3 4 5]]

标量参数 (2,3) - 数组 arr 按形状复制 6 (2×3) 遍，并以 (2,3) 的形式展现。

4.4

其他操作

本节讨论数组的其他操作，包括排序 (sort)，插入 (insert)，删除 (delete) 和复制 (copy)。

排序

排序包括直接排序 (direct sort) 和间接排序 (indirect sort)。

直接排序

arr = np.array([5,3,2,6,1,4])	
print( 'Before sorting', arr )	
arr.sort()	
print( 'After sorting', arr )

Before sorting [5 3 2 6 1 4]
After sorting [1 2 3 4 5 6]

sort()函数是按升序 (ascending order) 排列的，该函数里没有参数可以控制 order，因此你想要按降序排列的数组，只需

print( arr[::-1] )

[6 5 4 3 2 1]

现在让人困惑的地方来了。

知识点

用来排序 numpy 用两种方式：

1. arr.sort()

2. np.sort( arr )

第一种 sort 会改变 arr，第二种 sort 在排序时创建了 arr 的一个复制品，不会改变 arr。看下面代码，用一个形状是 (3, 4) 的「二维随机整数」数组来举例，用整数是为了便于读者好观察排序前后的变化：

arr = np.random.randint( 40, size=(3,4) )	
print( arr )

[[24 32 23 30]
 [26 27 28  0]
 [ 9 14 24 13]]

---

第一种 arr.sort()，对第一列排序，发现 arr 的元素 改变了。

arr[:, 0].sort() 	
print( arr )

[[ 9 32 23 30]
 [24 27 28  0]
 [26 14 24 13]]

---

第二种 np.sort(arr)，对第二列排序，但是 arr 的元素 不变 。

np.sort(arr[:,1])

array([ 14, 27, 32])

print( arr )

[[ 9 32 23 30]
 [24 27 28  0]
 [26 14 24 13]]

此外也可以在不同的轴上排序，对于二维数组，在「轴 0」上排序是「跨行」排序，在「轴 1」上排序是「跨列」排序。

arr.sort(axis=1)	
print( arr )

[[ 9 23 30 32]
 [ 0 24 27 28]
 [13 14 24 26]]

间接排序

有时候我们不仅仅只想排序数组，还想在排序过程中提取每个元素在原数组对应的索引(index)，这时 argsort() 就派上用场了。以排列下面五个学生的数学分数为例：

score = np.array([100, 60, 99, 80, 91])	
idx = score.argsort()	
print( idx )

[1 3 4 2 0]

这个 idx = [1 3 4 2 0] 怎么理解呢？很简单，排序完之后分数应该是 [60 80 91 99 100]，

• 60，即 score[1] 排在第0位， 因此 idx[0] =1

• 80，即 score[3] 排在第1 位， 因此 idx[1] =3

• 91，即 score[4] 排在第2 位， 因此 idx[2] =4

• 99，即 score[2] 排在第3 位， 因此 idx[3] =2

• 100，即 score[0] 排在第4 位， 因此 idx[4] =0

用这个 idx 对 score 做一个「花式索引」得到 (还记得

print( score[idx] )

[ 60  80  91  99 100]

---

再看一个二维数组的例子。

arr = np.random.randint( 40, size=(3,4) )	
print( arr )

[[24 32 23 30]
 [26 27 28  0]
 [ 9 14 24 13]]

对其第一行 arr[0] 排序，获取索引，在应用到所用行上。

arr[:, arr[0].argsort()]

array([[23, 24, 30, 32],
              [28, 26,  0, 27],
              [24,  9, 13, 14]])

这不就是「花式索引」吗？来我们分解一下以上代码，先看看索引。

print( arr[0].argsort() )

[2, 0, 3, 1]

「花式索引」来了，结果和上面一样的。

arr[:, [2, 0, 3, 1]]

array([[23, 24, 30, 32],
              [28, 26,  0, 27],
              [24,  9, 13, 14]])

插入和删除

和列表一样，我们可以给 numpy 数组

• 用insert()函数在某个特定位置之前插入元素

• 用delete()函数删除某些特定元素

a = np.arange(6)	
print( a )	
print( np.insert(a, 1, 100) )	
print( np.delete(a, [1,3]) )

[0 1 2 3 4 5]
[  0 100   1   2   3   4   5]
[0 2 4 5]

复制

用copy()函数来复制数组 a 得到 a_copy，很明显，改变 a_copy 里面的元素不会改变 a。

a = np.arange(6)	
a_copy = a.copy()	
print( 'Before changing value, a is', a )	
print( 'Before changing value, a_copy is', a_copy )	
a_copy[-1] = 99	
print( 'After changing value, a_copy is', a_copy )	
print( 'After changing value, a is', a )

Before changing value, a is [0 1 2 3 4 5]
Before changing value, a_copy is [0 1 2 3 4 5]
After changing value, a_copy is [ 0  1  2  3  4 99]
After changing value, a is [0 1 2 3 4 5]

5

数组的计算

本节介绍四大类数组计算，具体有

1. 元素层面 (element-wise) 计算

2. 线性代数 (linear algebra) 计算

3. 元素整合 (element aggregation) 计算

4. 广播机制 (broadcasting) 计算

5.1

元素层面计算

Numpy 数组元素层面计算包括：

1. 二元运算 (binary operation)：加减乘除

2. 数学函数：倒数、平方、指数、对数

3. 比较运算 (comparison)

先定义两个数组 arr1 和 arr2。

arr1 = np.array([[1., 2., 3.], [4., 5., 6.]])	
arr2 = np.ones((2,3)) * 2	
print( arr1 )	
print( arr2 )

[[1. 2. 3.]
 [4. 5. 6.]]

[[2. 2. 2.]
 [2. 2. 2.]]

加、减、乘、除

print( arr1 + arr2 + 1 )	
print( arr1 - arr2 )	
print( arr1 * arr2 )	
print( arr1 / arr2 )

[[4. 5. 6.]
 [7. 8. 9.]]

[[-1.  0.  1.]
 [ 2.  3.  4.]]

[[ 2.  4.  6.]
 [ 8. 10. 12.]]

[[0.5 1.  1.5]
 [2.  2.5 3. ]]

倒数、平方、指数、对数

print( 1 / arr1 )	
print( arr1 ** 2 )	
print( np.exp(arr1) )	
print( np.log(arr1) )

[[1.         0.5        0.33333333]
 [0.25       0.2        0.16666667]]

[[ 1.  4.  9.]
 [16. 25. 36.]]

[[  2.71828183   7.3890561   20.08553692]
 [ 54.59815003 148.4131591  403.42879349]]

[[0.         0.69314718 1.09861229]
 [1.38629436 1.60943791 1.79175947]]

比较

arr1 > arr2	
arr1 > 3

array([[False, False,  True],
              [ True,  True,  True]])

array([[False, False, False],
              [ True,  True,  True]])

从上面结果可知

• 「数组和数组间的二元运算」都是在元素层面上进行的

• 「作用在数组上的数学函数」都是作用在数组的元素层面上的。

• 「数组和数组间的比较」都是在元素层面上进行的

但是在「数组和标量间的比较」时，python 好像先把 3 复制了和 arr1 形状一样的数组 [[3,3,3], [3,3,3]]，然后再在元素层面上作比较。上述这个复制标量的操作叫做「广播机制」，是 NumPy 里最重要的一个特点，在下一节会详细讲到。

5.2

线性代数计算

在机器学习、金融工程和量化投资的编程过程中，因为运行速度的要求，通常会向量化 (vectorization) 而涉及大量的线性代数运算，尤其是矩阵之间的乘积运算。

但是，在 NumPy 默认不采用矩阵运算，而是数组 (ndarray) 运算。矩阵只是二维，而数组可以是任何维度，因此数组运算更通用些。

如果你非要二维数组 arr2d 进项矩阵运算，那么可以通过调用以下函数来实现：

• A = np.mat(arr2d)

• A = np.asmatrix(arr2d)

下面我们分别对「数组」和「矩阵」从创建、转置、求逆和相乘四个方面看看它们的同异。

创建

创建数组 arr2d 和矩阵 A，注意它们的输出有 array 和 matrix 的关键词。

arr2d = np.array([[1,2],[3,1]])	
arr2d

array([[1, 2],
              [3, 1]])

A = np.asmatrix(arr2d)	
A

matrix([[1, 2],
                [3, 1]])

转置

数组用 arr2d.T 操作或 arr.tranpose() 函数，而矩阵用 A.T 操作。主要原因就是 .T 只适合二维数据，

print( arr2d.T )	
print( arr2d.transpose() )	
print( A.T )

[[1 3]
 [2 1]]

[[1 3]
 [2 1]]

[[1 3]
 [2 1]]

求逆

数组用 np.linalg.inv() 函数，而矩阵用 A.I 和 A**-1 操作。

print( np.linalg.inv(arr2d) )	
print( A.I )	
print( A**-1 )

[[-0.2  0.4]
 [ 0.6 -0.2]]

[[-0.2  0.4]
 [ 0.6 -0.2]]

[[-0.2  0.4]
 [ 0.6 -0.2]]

相乘

相乘是个很模棱两可的概念

• 数组相乘是在元素层面进行，

• 矩阵相乘要就是数学定义的矩阵相乘 (比如第一个矩阵的列要和第二个矩阵的行一样)

看个例子，「二维数组」相乘「一维数组」，「矩阵」相乘「向量」，看看有什么有趣的结果。

首先定义「一维数组」arr 和 「列向量」b：

arr = np.array([1,2])	
b = np.asmatrix(arr).T	
print( arr.shape, b.shape )

(2,) (2, 1)

由上面结果看出， arr 的形状是 (2,)，只含一个元素的元组只说明 arr 是一维，数组是不分行数组或列数组的。而 b 的形状是 (2,1)，显然是列向量。

相乘都是用 * 符号，

print( arr2d*arr )	
print( A*b )

[[1 4]
 [3 2]]

[[5]
 [5]]

由上面结果可知，

• 二维数组相乘一维数组得到的还是个二维数组，解释它需要用到「广播机制」，这是下节的重点讨论内容。现在大概知道一维数组 [1 2] 第一个元素 1 乘上 [1 3] 得到 [1 3]，而第二个元素 2 乘上 [2 1] 得到 [4 2]。

• 而矩阵相乘向量的结果和我们学了很多年的线代结果很吻合。

---

再看一个例子，「二维数组」相乘「二维数组」，「矩阵」相乘「矩阵」

print( arr2d*arr2d )	
print( A*A )

[[1 4]
 [9 1]]

[[7 4]
 [6 7]]

由上面结果可知，

• 虽然两个二维数组相乘得到二维数组，但不是根据数学上矩阵相乘的规则得来的，而且由元素层面相乘得到的。两个 [[1 2], [3,1]] 的元素相乘确实等于 [[1 4], [9,1]]。 

• 而矩阵相乘矩阵的结果和我们学了很多年的线代结果很吻合。

问题来了，那么怎么才能在数组上实现「矩阵相乘向量」和「矩阵相乘矩阵」呢？用点乘函数 dot()。

print( np.dot(arr2d,arr) )	
print( np.dot(arr2d,arr2d) )

[5 5]

[[7 4]
 [6 7]]

结果对了，但还有一个小小的差异

• 矩阵相乘列向量的结果是个列向量，写成 [[5],[5]]，形状是 (2,1)

• 二维数组点乘一维数组结果是个一维数组，写成 [5, 5]，形状是 (2,)

由此我们来分析下 NumPy 里的 dot() 函数，计算数组和数组之间的点乘结果。

点乘函数

本节的内容也来自〖

• 向量 (1D) 和向量 (1D)

• 矩阵 (2D) 和向量 (1D)

• 矩阵 (2D) 和矩阵 (2D)

分别看看三个简单例子。

例一：np.dot(向量, 向量) 实际上做的就是内积，即把两个向量每个元素相乘，最后再加总。点乘结果 10 是个标量 (0D 数组)，形状 = ()。

x = np.array( [1, 2, 3] )	
y = np.array( [3, 2, 1] )	
z = np.dot(x,y)	
print( z.shape )	
print( z )

()
10

---

例二：np.dot(矩阵, 向量) 实际上做的就是普通的矩阵乘以向量。点乘结果是个向量 (1D 数组)，形状 = (2, )。

x = np.array( [1, 2, 3] )	
y = np.array( [[3, 2, 1], [1, 1, 1]] )	
z = np.dot(y,x)	
print( z.shape )	
print( z )

(2,)
[10  6]

---

例三：np.dot(矩阵, 矩阵) 实际上做的就是普通的矩阵乘以矩阵。点乘结果是个矩阵 (2D 数组)，形状 = (2, 3)。

x = np.array( [[1, 2, 3], [1, 2, 3], [1, 2, 3]] )	
y = np.array( [[3, 2, 1], [1, 1, 1]] )	
z = np.dot(y,x)	
print( z.shape )	
print( z )

(2, 3)
[[ 6 12 18]
 [ 3  6  9]]

从例二和例三看出，当 x 第二个维度的元素 (x.shape[1]) 和 y 第一个维度的元素 (y.shape[0]) 个数相等时，np.dot(X, Y) 才有意义，点乘得到的结果形状 = (X.shape[0], y.shape[1])。

上面例子都是低维数组 (维度 ≤ 2) 的点乘运算，接下来我们看两个稍微复杂的例子。

---

例四：当 x 是 3D 数组，y 是 1D 数组，np.dot(x, y) 是将 x 和 y 最后一维的元素相乘并加总。此例 x 的形状是 (2, 3, 4)，y 的形状是 (4, )，因此点乘结果的形状是 (2, 3)。

x = np.ones( shape=(2, 3, 4) )	
y = np.array( [1, 2, 3, 4] )	
z = np.dot(x,y)	
print( z.shape )	
print( z )

(2, 3)
[[10. 10. 10]
 [10. 10. 10]]

---

例五：当 x 是 3D 数组，y 是 2D 数组，np.dot(x, y) 是将 x 的最后一维和 y 的倒数第二维的元素相乘并加总。此例 x 的形状是 (2, 3, 4)，y 的形状是 (4, 2)，因此点乘结果的形状是 (2, 3, 2)。

x = np.random.normal( 0, 1, size=(2, 3, 4) )	
y = np.random.normal( 0, 1, size=(4, 2) )	
z = np.dot(x,y)	
print( z.shape )	
print( z )

(2, 3, 2)
[[[ 2.11753451 -0.27546168]
    [-1.23348676  0.42524653]
    [-4.349676   -0.3030879 ]]

  [[ 0.15537744,  0.44865273]
    [-3.09328194, -0.43473885]
    [ 0.27844225, -0.48024693]]]

例五的规则也适用于 nD 数组和 mD 数组 (当 m ≥ 2 时) 的点乘。

5.3

元素整合计算

在数组中，元素可以以不同方式整合 (aggregation)。拿求和 (sum) 函数来说，我们可以对数组

• 所有的元素求和

• 在某个轴 (axis) 上的元素求和

先定义数组

arr = np.arange(1,7).reshape((2,3))	
arr

array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

不难看出它是一个矩阵，分别对全部元素、跨行 (across rows)、跨列 (across columns) 求和：

print( 'The total sum is', arr.sum() )	
print( 'The sum across rows is', arr.sum(axis=0) )	
print( 'The sum across columns is', arr.sum(axis=1) )

The total sum is 21
The sum across rows is [5 7 9]
The sum across columns is [ 6 15]

分析上述结果：

• 1, 2, 3, 4, 5, 6 的总和是 21

• 跨行求和 = [1 2 3] + [4 5 6] = [5 7 9]

• 跨列求和 = [1+2+3 4+5+6] = [6 15]

行和列这些概念对矩阵 (二维矩阵) 才适用，高维矩阵还是要用轴 (axis) 来区分每个维度。让我们抛弃「行列」这些特殊概念，拥抱「轴」这个通用概念来重看数组 (一到四维) 把。

规律：n 维数组就有 n 层方括号。最外层方括号代表「轴 0」即 axis=0，依次往里方括号对应的 axis 的计数加 1。

严格来说，numpy 打印出来的数组可以想象带有多层方括号的一行数字。比如二维矩阵可想象成

    [[1, 2, 3],[4, 5, 6]]

三维矩阵可想象成

    [[[1,2,3], [4,5,6]], [[7,8,9], [10,11,12]]]

由于屏幕的宽度不够，我们才把它们写成一列列的，如下

    [ [ [1, 2, 3]

         [4, 5, 6] ] 

      [ [7, 8, 9] 

         [10, 11, 12] ] ]

但在你脑海里，应该把它们想成一整行。这样会便于你理解如何按不同轴做整合运算。

有了轴的概念，我们再来看看 sum() 求和函数。

一维数组

分析结果：

• 1, 2, 3 的总和是 6

• 在轴 0(只有一个轴) 上的元素求和是 6

用代码验证一下：

arr = np.array([1,2,3])	
print( 'The total sum is', arr.sum() )	
print( 'The sum on axis0 is', arr.sum(axis=0) )

The total sum is 6
The sum on axis0 is 6

求和一维数组没什么难度，而且也看不出如果「按轴求和」的规律。下面看看二维数组。

二维数组

分析结果：

• 1 到 6 的总和是 6

• 轴 0 上的元素 (被一个红方括号[]包住的) 是[1, 2, 3]和[4, 5, 6]，求和得到[[5, 6, 7]]

• 轴 1 上的元素 (被两个蓝方括号[] 包住的) 分别是 1, 2, 3 和 4, 5, 6，求和得到 [[1+2+3, 4+5+6]]= [[6, 15]]

用代码验证一下：

arr = np.arange(1,7).reshape((2,3))	
print( arr )

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

print( 'The total sum is', arr.sum() )	
print( 'The sum on axis0 is', arr.sum(axis=0) )	
print( 'The sum on axis1 is', arr.sum(axis=1) )

The total sum is 21
The sum on axis0 is [5 7 9]
The sum on axis1 is [ 6 15]

结果是对的，但是好像括号比上图推导出来的少一个。原因np.sum()里面有个参数是 keepdims，意思是「保留维度」，默认值时 False，因此会去除多余的括号，比如 [[5, 7, 9]] 会变成 [5, 7, 9]。

如果把 keepdims 设置为 True，那么打印出来的结果和上图推导的一模一样。

print( arr.sum(axis=0, keepdims=True) )	
print( arr.sum(axis=1, keepdims=True) )

[[5 7 9]]

[[ 6]
 [15]]

三维数组

分析结果：

• 1 到 12 的总和是 78

• 轴 0 上的元素是一个红方括号[] 包住的两个 [[ ]]，对其求和得到一个 [ [[ ]] ]

• 轴 1 上的元素是两个蓝方括号[] 包住的两个[ ]，对其求和得到两个 [[ ]]，即 [ [[ ]], [[ ]] ]

• 轴 2 上的元素是四个绿方括号[] 包住的三个标量，对其求和得到四个[]，即 [ [[ ], [ ]], [[ ], [ ]] ]

用代码验证一下：

arr = np.arange(1,13).reshape((2,2,3))	
print(arr)

[[[ 1  2  3]
  [ 4  5  6]]

 [[ 7  8  9]
  [10 11 12]]]

print( 'The total sum is', arr.sum() )	
print( 'The sum on axis0 is', arr.sum(axis=0) )	
print( 'The sum on axis1 is', arr.sum(axis=1) )	
print( 'The sum on axis2 is', arr.sum(axis=2) )

The total sum is 78
The sum on axis0 is [[ 8 10 12] [14 16 18]]
The sum on axis1 is [[ 5  7  9] [17 19 21]]
The sum on axis2 is [[ 6 15] [24 33]]

打印出来的结果比上图推导结果少一个括号，也是因为 keepdims 默认为 False。

四维数组

不解释了，彩色括号画的人要抓狂了。通用规律：当在某根轴上求和，明晰该轴的元素，再求和。具体说来：

• 在轴 0上求和，它包含是两个[]，对其求和

• 在轴 1 上求和，它包含是两个 []，对其求和

• 在轴 2 上求和，它包含是两个 []，对其求和

• 在轴 3 上求和，它包含是三个标量，对其求和

用代码验证一下：

arr = np.arange(1,25).reshape((2,2,2,3))	
print(arr)

[[[[ 1  2  3]
   [ 4  5  6]]

    [[ 7  8  9]
   [10 11 12]]]

  [[[13 14 15]
      [16 17 18]]

    [[19 20 21]
      [22 23 24]]]]

print( 'The total sum is', arr.sum() )	
print( 'The sum on axis0 is', arr.sum(axis=0) )	
print( 'The sum on axis1 is', arr.sum(axis=1) )	
print( 'The sum on axis2 is', arr.sum(axis=2) )	
print( 'The sum on axis3 is', arr.sum(axis=3) )

The total sum is 300
The sum on axis0 is [[[14 16 18] [20 22 24]]
                     [[26 28 30] [32 34 36]]]

	
The sum on axis1 is [[[ 8 10 12] [14 16 18]]
                     [[32 34 36] [38 40 42]]]

	
The sum on axis2 is [[[ 5  7  9] [17 19 21]]
                     [[29 31 33] [41 43 45]]]

	
The sum on axis3 is [[[ 6 15] [24 33]]
                     [[42 51] [60 69]]]

打印出来的结果比上图推导结果少一个括号，也是因为 keepdims 默认为 False。

小节

除了 sum 函数，整合函数还包括 min, max, mean, std 和 cumsum，分别是求最小值、最大值、均值、标准差和累加，这些函数对数组里的元素整合方式和 sum 函数相同，就不多讲了。总结来说我们可以对数组

• 所有的元素整合

• 在某个轴 (axis) 上的元素整合

整合函数= {sum, min, max, mean, std, cumsum}

5.4

广播机制计算

当对两个形状不同的数组按元素操作时，可能会触发「广播机制」。具体做法，先适当复制元素使得这两个数组形状相同后再按元素操作，两个步骤：

1. 广播轴 (broadcast axis)：比对两个数组的维度，将形状小的数组的维度 (轴) 补齐

2. 复制元素：顺着补齐的轴，将形状小的数组里的元素复制，使得最终形状和另一个数组吻合

在给出「广播机制」需要的严谨规则之前，我们先来看看几个简单例子。

例一：标量和一维数组

arr = np.arange(5)	
print( arr )	
print( arr + 2 )

[0 1 2 3 4]

[2 3 4 5 6]

元素 2 被广播到数组 arr 的所有元素上。

例二：一维数组和二维数组

arr = np.arange(12).reshape((4,3))	
print( arr )	
print( arr.mean(axis=0) )	
print( arr - arr.mean(axis=0) )

[[ 0  1  2]
 [ 3  4  5]
 [ 6  7  8]
 [ 9 10 11]] 

[4.5 5.5 6.5] 

[[-4.5 -4.5 -4.5]
 [-1.5 -1.5 -1.5]
 [ 1.5  1.5  1.5]
 [ 4.5  4.5  4.5]]

沿轴 0 的均值的一维数组被广播到数组 arr 的所有的行上。

---

现在我们来看看「广播机制」的规则：

广播机制的规则

知识点

当我们对两个数组操作时，如果它们的形状

• 不相容 (incompatible)，广播机制不能进行

• 相容 (compatible)，广播机制可以进行

因此，进行广播机制分两步

1. 检查两个数组形状是否兼容，即从两个形状元组最后一个元素，来检查

   1. 它们是否相等

   2. 是否有一个等于 1

2. 一旦它们形状兼容，确定两个数组的最终形状。

例三：维度一样，形状不一样

用个例子来应用以上广播机制规则

a = np.array([[1,2,3]])	
b = np.array([[4],[5],[6]])	
print( 'The shape of a is', a.shape )	
print( 'The shape of b is', b.shape )

The shape of a is (1, 3)
The shape of b is (3, 1)

回顾进行广播机制的两步

1. 检查数组 a 和 b 形状是否兼容，从两个形状元组 (1, 3) 和 (3, 1)最后一个元素开始检查，发现它们都满足『有一个等于 1』的条件。

2. 因此它们形状兼容，两个数组的最终形状为 (max(1,3), max(3,1)) = (3, 3)

到此，a 和 b 被扩展成 (3, 3) 的数组，让我们看看 a + b 等于多少

c = a + b	
print( 'The shape of c is', c.shape )	
print( 'a is', a )	
print( 'b is', b )	
print( 'c = a + b =', c )

The shape of c is (3, 3) 

a is [[1 2 3]]

b is [[4]
      [5]
      [6]]

c = a + b = [[5 6 7]
             [6 7 8]
              [7 8 9]]

例四：维度不一样

a = np.arange(5)	
b = np.array(2)	
print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )	
print( 'The dimension of b is', b.ndim, 'and the shape of b is', b.shape )

The dimension of a is 1 and the shape of a is (5,)
The dimension of b is 0 and the shape of b is ()

数组 a 和 b 形状分别为 (5,) 和 ()，首先我们把缺失的维度用 1 补齐得到 (5,) 和 (1,)，再根据广播机制那套流程得到这两个形状是兼容的，而且最终形状为 (5,)。

用代码来看看 a + b 等于多少

c = a + b	
print( 'The dimension of c is', c.ndim, 'and the shape of c is', c.shape, '\n' )	
print( 'a is', a )	
print( 'b is', b )	
print( 'c = a + b =', c )

The dimension of c is 1 and the shape of c is (5,) 

a is [0 1 2 3 4]
b is 2
c = a + b = [2 3 4 5 6]

---

现在对广播机制有概念了吧，来趁热打铁搞清楚下面这五个例子，你就完全弄懂它了。

a = np.array( [[[1,2,3], [4,5,6]]] )	
b1 = np.array( [[1,1,1], [2,2,2], [3,3,3]] )	
b2 = np.arange(3).reshape((1,3))	
b3 = np.arange(6).reshape((2,3))	
b4 = np.arange(12).reshape((2,2,3))	
b5 = np.arange(6).reshape((2,1,3))	
print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )	
print( 'The dimension of b1 is', b.ndim, 'and the shape of b1 is', b1.shape, '\n')	
print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )	
print( 'The dimension of b2 is', b.ndim, 'and the shape of b2 is', b2.shape, '\n' )	
print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )	
print( 'The dimension of b3 is', b.ndim, 'and the shape of b3 is', b3.shape, '\n' )	
print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )	
print( 'The dimension of b4 is', b.ndim, 'and the shape of b4 is', b4.shape, '\n' )	
print( 'The dimension of a is', a.ndim, 'and the shape of a is', a.shape )	
print( 'The dimension of b5 is', b.ndim, 'and the shape of b5 is', b5.shape )

The dimension of a is 3 and the shape of a is (1, 2, 3)
The dimension of b1 is 0 and the shape of b1 is (3, 3) 

The dimension of a is 3 and the shape of a is (1, 2, 3)
The dimension of b2 is 0 and the shape of b2 is (1, 3) 

The dimension of a is 3 and the shape of a is (1, 2, 3)
The dimension of b3 is 0 and the shape of b3 is (2, 3) 

The dimension of a is 3 and the shape of a is (1, 2, 3)
The dimension of b4 is 0 and the shape of b4 is (2, 2, 3) 

The dimension of a is 3 and the shape of a is (1, 2, 3)
The dimension of b5 is 0 and the shape of b5 is (2, 1, 3)

对于数组 a 和 b1，它们形状是 (1, 2, 3) 和 (3, 3)。元组最后一个都是 3，兼容；倒数第二个是 3 和 2，即不相等，也没有一个是 1，不兼容！a 和 b1 不能进行广播机制。不行就看看下面代码：

c1 = a + b1	
print( c1 )	
print( c1.shape )

ValueError: operands could not be broadcast
together with shapes (1,2,3) (3,3)

a 和其他 b2, b3, b4, b5 都可以进行广播机制，自己分析吧。

c2 = a + b2	
print( c2 )	
print( c2.shape )

[[[1 3 5]
    [4 6 8]]] 

(1, 2, 3)

c3 = a + b3	
print( c3 )	
print( c3.shape )

[[[ 1  3  5]
    [ 7  9 11]]] 

(1, 2, 3)

c4 = a + b4	
print( c4 )	
print( c4.shape )

[[[ 1  3  5]
    [ 7  9 11]]

  [[ 7  9 11]
    [13 15 17]]] 

(2, 2, 3)

c5 = a + b5	
print( c5 )	
print( c5.shape )

[[[ 1  3  5]
    [ 4  6  8]]

  [[ 4  6  8]
    [ 7  9 11]]] 

(2, 2, 3)

6

总结

NumPy 篇终于完结！即上贴讨论过的数组创建、数组存载和数组获取，本贴讨论了数组变形、数组计算。

数组变形有以下重要操作：

• 改变维度的重塑和打平

• 改变分合的合并和分裂

• 复制本质的重复和拼接

• 其他排序插入删除复制

数组计算有以下重要操作：

1. 元素层面：四则运算、函数，比较

2. 线性代数：务必弄懂点乘函数 dot()

3. 元素整合：务必弄懂轴这个概念！

4. 广播机制：太重要了，神经网络无处不在！

我是老表，踏实的人更容易过好生活，本文完。

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