（四）流体动力学（动量守恒和能量守恒）

目录

（一）理性流体运动微分方程（动量守恒）

（二）理想流体沿流线伯努利方程（能量守恒）

（三）理想流体沿流线伯努利方程的意义

（四）理想流体总流伯努利方程

（五）实际流体总流的伯努利方程

（六）伯努利方程的推广

（七）存在机械能输出和输入时总的伯努利方程

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（一）理性流体运动微分方程（动量守恒）

理想流体微分方程也叫做欧拉运动微分方程。是牛顿第二定律在理想流体中的应用。

表达式为：

物理意义：理想流体微分方程表达了作用在单位质量流体上的力与流体运动加速度之间的关系，是流体动力学的基本方程，对于不可压缩和可压缩的流体均适用，也适用于所有的理想流体的运动。

（二）理想流体沿流线伯努利方程（能量守恒）

理想流体沿流线的伯努利方程如下所示：

适用范围

• 理想不可压缩流体
• 质量力只有重力
• 稳定流动
• 对于有旋流动，仅适用于同一条流线；对于无旋流动，整个流场都适用。

（三）理想流体沿流线伯努利方程的意义

几何意义

• z——称为位置水头；
• ——测压管高度，速度水头；
• ——水力高度或总水头。

压力能、动能、位能都是一种能量，他们之间可以相互转换。当流速变小时候，动能转变为压力能，压力能增加。

对于理想流体恒定流动，三项的能量之和为一常数，表示任意一个流体微元运动过程中的位能、压力能和动能的总和保持不变。所以说理想流体，伯努利方程又是流体力学中的能量守恒定量。

动能修正系数

动能修正系数是过流断面流体流动的真实速度所表示的动能与过流断面平均速度所表示的动能之比，用字母α表示。

即：

上式说明过断流面平均速度计算得到的动能要小于用过断流面真实速度计算所得的动能。是因为断面上速度分布不均匀所引起的，不均匀性越大，α值越大。在实际中，由于流速水头本身所占的比例较小，所以一般取α=1。

缓变流及其特征

缓变流：值流线之间的夹角比较小，流线曲率半径比较大，流线几乎是一些平行直线的流动。

在缓变流中，流体运动的直线加速度和离心加速度都很小，可以忽略由于速度的变化或者方向的变化所产生的惯性力。

缓变过流断面：如果在流束的某一过流面上的流动为缓变流动，则称此断面为缓变过流断面。

缓变过流具有以下两个特征

• 缓变流动中，质量力只有重力。
• 在同一缓变过流断面上，任何点上的静压水头都相等。

（四）理想流体总流伯努利方程

适用条件

理想不可压缩流体在重力场下的稳定缓变流动。

（五）实际流体总流的伯努利方程

实际流体总流的伯努利方程式：

适用条件

• 理想不可压缩流体。
• 作用在流体上的质量力只有重力。
• 稳定流动。
• 沿流程流量保持不变。
• 所取的过流断面必须是缓变流断面。

伯努利方程的使用注意事项

• 与总流的连续性方程式联合使用。
• 在选取过流断面时，一个过流断面应选在待求未知量所在的断面上，另一个过流断面需要选在已知量较多的断面上，且尽可能使两个断面只包含一个未知数；
• 为了方便，基准面通常选在过流断面的最低的一个断面上，在同一个问题中，必须使用同一个基准面。
• 选择的计算点，位置高度z和压力p必须在同一点上。压力可以用绝对压力，也可以使用相对压力，但是两个断面上所用的压力标准必须一致。
• 所选择的过流断面必须满足缓变流动条件，但在两个缓变过流断面之间的流动，可以是缓变流动也可以是急变流动。
• 方程中动能修正系数α≈1

（六）伯努利方程的推广

流体在流动过程中有分流和汇流。

分流过程中有，断面1和2、断面1和3之间的伯努利方程为：

在第一个式子和第二个式子两边分别乘以再相加，得到总能量守恒的伯努利方程：

对于汇流情况，同理列出1、3和2、3的伯努利方程，得到总能量守恒的伯努利方程：

（七）存在机械能输出和输入时总的伯努利方程

沿着总流两过流断面间装有水泵、风机和水轮机等装置，流体流经水泵或者风机时候获得能量，流经水轮机时将失去能量。设流体获得或失去能量头为H，则总流伯努利方程为：

H前的正号表示获得的能量，负号表示失去的能量。

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