数据结构与算法（python）第一章绪论

1.1 计算机问题求解
开发出能解决问题的程序
1.1.1 程序的开发过程
1：分析阶段（需求分析）
2：设计阶段
3：编码阶段
4：检查测试阶段
5：测试/调试过程
1.1.2一个简单示例
对数字开平方根，算法设计与分析
1：给定x和允许误差e，令变量y取任意正实数值，如令y=x；
2：如果|yy-x| 3：取z=(y+x/y)/2；
4：将z作为y的值返回步骤2；
1.2 问题求解：交叉路口红绿灯安排
安全问题，经济问题
1.2.1 问题分析和严格化
其中一种数据结构：图
图中元素成为顶点，连接线成为边或者弧，相互之间有边的顶点称为邻接顶点。
1.2.2 图的顶点分组和算法
枚举和选择（选优法）：顶点分组，枚举出所有可能，但代价太高，效率低下。
贪婪算法（贪心法）
1.2.3 算法的精化和python描述
1.2.4 讨论
仍有很多不足
小结
1.3 算法和算法分析
1.3.1 问题，问题实例和算法
三个基本概念：问题，问题实例，算法
算法的性质：有穷性，能行性，确定性，终止性，输入/输出
满足确定性的算法称为确定性算法 ，实际上人们现在更加关注 非确定性算法，如并行算法，概率算法等
算法的描述：
采用自然语言描述
采用在自然语言描述中结合一些数学记法或公式的描述形式
采用严格定义的形式化记法描述形式（采用某种通用的计算机模型描述 方式，采用某种严格的专门为描述算法而定义的形式化描述语言）
采用类似某种编程语言的形式描述算法（常用）
采用某种伪代码的形式（常用）
算法和程序：
程序可以看作采用计算装置能够处理的语言描述的算法，称为算法的实现
程序可以采用各种计算机语言描述，不同语言描述的算法运行效率也是不同的
算法设计与分析：
算法设计中常见的通用想法可以称为算法设计模式
主要有：
枚举法
贪心法
分治法
回溯法
动态规划法
分支限界法
很多复杂的算法一般都是多种算法模式结合
算法的共有性质中，最重要的就是算法的实施都需要耗费资源，即一个算法 的实施必定都蕴含着一定量的时间和空间开销。
算法分析的主要任务就是弄清算法的资源消耗
算法分析最重要的作用是作为评价算法的一种标准
1.3.2 算法的代价及其度量：
代价包括：
所需的储存空间
所需的求解时间
存储占用的最高位限
度量的单位和方法：
以问题实例的某种规模n为参量，反映出这个算法在处理规模为n的问题实例时需要付出的时间（或者空间）的代价
在规模n趋向于无穷的过程中，有关函数的增长速度
这两个函数关系称为算法的时间代价和空间代价
与实例和规模有关的两个问题
first：分析有关算法时采用的尺度不同，算法的代价也不同
判断素数的问题中，有两个尺度可能作为实例的规模度量，一种可能是用被检查的数值，另一种可能是取被检查整数按某种进制表示的数字串长度
second：对同样规模的实例，计算代价也有可能不同
判断素数的问题中，同样由100个10进制数字表示的数，如果是偶数，则只需要一次判断，而奇数则是需要花费更多时间
度量算法的三种考虑：
最少时间：价值不大
最多时间：最坏情况的时间代价
平均时间：一方面完整全面的反映了这个算法的性质，另一方面这个时间代价并无保证，不是每个实例都在这个平均时间内完成的，且现实中常常难以确定平均代价。
常数因子和算法复杂度
对于算法的时间和空间中，最重要的是量级和趋势，这是代价的主要部分
代价函数的常量因子可以忽略不记：3n和100n属于同一个量级
大O记法：
对于单调的整数函数f，如果存在一个整数函数g和实常数c>0，使得对于充分大的n总有f(n)<=cg(n)，就说函数g是f的一个渐近函数，记为f(n)=Og(n)，说明在趋向无穷的意义下，函数f的增长速度受到函数g的约束
把上述描述方法应用于算法的代价问题，假设存在函数g，使得算法A处理规模为n的问题实例所用的时间T(n)=O(g(n))，则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，算法的空间复杂度的定义与此类似。
O(1):常量复杂度
O(logn):对数复杂度
O(n)：线性复杂度
O(n*n)：平方复杂度
O(2*n)：指数复杂度
算法复杂度的意义
算法的复杂度决定了算法的可用性
算法复杂度由空间复杂度与时间复杂度决定
1.3.3 算法分析
算法分析的目的是推导出算法的复杂度
其主要的技术是构造和求解递归方程
基本循环程序
如只考虑算法的时间复杂度，其中只有顺序结构，条件分支，循环结构：
1：基本操作，认为其时间复杂度为O(I)，如果是函数调用，应该将其时间复杂度代入，参与整体时间复杂度是计算。
2：加法规则（顺序复合）：如果算法是两个部分的顺序复合，其复杂性是两个部分的复杂性之和，由于忽略了常量因子，加法等价于求最大值，取两个中复杂度较大的一个。
3：乘法规则（循环结构）：如果算法是一个循环，循环体将执行T(n)次，每次需要的时间为S(n)。
4：取最大规则（分支结构）：如果算法是条件分支，两个分支的时间复杂性分别为T(n)和S(n)，则复杂度为其中较大一个
递归算法的复杂度

def re(n):
	if n==0:
		return g(...)
		somework
		for i in range(a)
			x=re(n/b)
			somework
		somework

T(n)=O(n的k次方)+a*T(n/b)
结论：
如果a>b的k次方，那么T(n)=O(n的log以b为底a为对数的次方)
如果a=b的k次方，那么T(n)=O(n的k次方*logn)
如果a 1.3.4 python程序的计算代价（复杂度）
时间开销
基本算术运算符是常量时间操作
逻辑运算符是常量时间运算
组合对象中：
复制和切片操作通常需要线性时，list和tuple的元素访问和元素赋值是常量时间，dict操作中情况比较复杂
字符串也应看作组合对象，其许多操作不是常量时间的
创建对象也需要付出空间和时间，空间和时间代价都与对象的大小有关，对于组合对象，需要构造一个个元素，元素又有大小问题，整体要看元素的个数，看作是线性时间和线性空间
构造新结构，如构造list，set等，构造空结构是常量时间操作，构造一个包含n个元素的结构，则至少需要O(n)时间
字典dict操作效率，主要操作是加入新的关键码-值对和基于关键码查找关联值，最坏的情况是O(n)，平均复杂度是O(1)，另外在表的最后插入和删除元素的操作效率最高，在其他地方加入和删除元素的效率最低，应优先考虑前者。
空间开销
建立一个表或者元组，至少要占用元素个数那么多的空间，如果一个表的元素个数与问题规模线性相关，建立它的空间付出至少为O(1)（如果元素也是新创建的，还需要考虑元素本身的存储开销）
python中各种组合数据对象都没有设定最大元素个数，在实际中，根据元素个数的增加自动扩充存储空间，从空间占用 的角度看，实际存储开销可能变大，但不会自动缩小，即便将其中的元素删除，也不会变化。
python中自动存储管理系统的影响，全局变量会一直占用存储空间，除非是作为局部变量或者在后来通过赋值将其抛弃，这个表的对象就可以被收回。
python程序的时间复杂度实例
程序实现和效率陷阱
从全局与局部来看是不同的
1.4 数据结构
1.4.1 数据结构及其分类
信息，数据和数据结构
信息
数据就是经过编码的信息
数据元素：最基本的是二进制位
数据结构：研究数据之间的关联和组合形式
抽象定义与重要类别
典型数据结构：
集合结构
序列结构也称线性结构，有简单序列结构，环形结构和p形结构等，
层次结构其数据元素分属于一些不同层次，一个上层元素可以关联着一个或者多个下层元素。
树形结构只有一个最上层的数据元素称为根
图结构数据元素之间有任意复杂的相互联系
算法和程序中的数据结构
结构性和功能性的数据结构
1.4.2 计算机内存对象表示
内存单元和地址
内存储器（内存）：
计算中直接使用的数据保存在内存中
内存是CPU可以直接访问的数据存储设备。
外存：
如光盘，磁盘，磁带等
保存在外存的数据必须先装入内存，CPU才能访问它
内存的基本结构：是一批线性排列的存储单元，每个单元大小相同，通常一个单元可以保存一个字节（8位二进制代码）的数据。
内存单元具有唯一编号，称为单元地址（地址）
对象存储和管理
内存区域是指地址连续排列的一个或者多个单元
python中标准函数id取得对象的标识
对象的访问 **
直接通过标识访问是常量时间
对象关联的表示
顺序表示
链接表示通过链接形成的复杂结构称为链接结构
1.4.3 python对象和数据结构
python中，在变量里保存值（对象）的引用的这种实现方式称为变量的引用语义**
有些语言（如C语言）中则是把变量的值直接保存在变量的存储区里，称为值语义
python对象的表示
python语言的实现基于一套链接结构 ，变量与其值对象的关联通过链接的方式实现，对象之间的联系也通过链接，一个复杂对象的内部也可能包含多个子部分，相互之间也是通过链接建立联系。
python的几个标准数据类型
list（表）
tuple（元组）构造之后不可变
dict（字典）关键码只能是不变对象（例如，可以是字符串，元组，但不可以是表），如果关键码是组合对象，那么其元素仍然是不变对象，支持高效（常量时间）检索