碉堡的小程序：用 Python 制作演示迷宫算法的 gif 动画
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碉堡的小程序：用 Python 制作演示迷宫算法的 gif 动画
作者：neozhaoliang
本文要介绍的是我写的一个有趣的小程序，一个脱离了低级趣味的程序，一个有益于广大人民学习算法的程序。代码在 Github 上。
先上效果图：
这个图初看起来让人眼花缭乱，不知所云，但是看完以后大家应该不难明白，它演示的是一个迷宫生成算法和一个迷宫求解算法 (只不过嵌入到了一张背景图片中)。实际上它演示的是概率论中的 Wilson 一致生成树算法 (UST 意为 uniform spanning tree) 和宽度优先搜索算法运行在一个 2D 网格图上的效果。还记得吗？一个图的生成树可以看作是这个图上的一个迷宫，图上的任何两个顶点之间沿着生成树有唯一的一条路径相连。
至于什么是 Wilson 一致生成树算法 (这里的重点在 "一致" 上)，本文后面会介绍。
这个程序是怎么来的？
许多年前我在网上闲逛的时候，偶然发现了一个网站：https://bl.ocks.org/mbostock，当时我对上面展示的各种丰富炫酷的动态效果惊羡不已，尤其是其中对 Wilson 算法的演示，让我对此算法有了更直观和深入的理解。我立刻萌发了用 Python 制作一个 gif 版的动画演示的想法，但是思考了许久也不知道从何入手。这里困难的地方在于 Wilson 算法是一个随机算法，其运行时间是不确定的，一个动画里面可能包含数千帧，如果采用把每一帧保存为图像再合并到一起的话，最终得到的文件会非常庞大。而且这种纯暴力的做法逼格太 low，自诩为 geek 的我辈岂屑于为之？限于能力不足，这个想法只好被暂时压在心底，但是一直念念不忘。过了几年后，在一个偶然的机会我接触到了 gif 图像的编码协议，豁然开朗：为什么不直接把动画过程编码为字节流呢？通过精确定位每一帧的位置，控制 LZW 压缩过程的编码长度，文件过大的问题是可以解决的！前后捣鼓了半个月，反复研究协议细节，debug 了无数次后，这才作出了上面的效果。
https://bl.ocks.org/mbostock模拟地球
https://bl.ocks.org/mbostock模拟时钟
后来我把这个程序作了改进，可以用来演示更多的 (理论上是全部) 迷宫生成/求解算法，比如：
1.Prim 最小生成树算法：
2.随机深度优先搜索生成树算法：
3.Kruskal 最小生成树算法：
(免责声明：上图是个正经图，没有别的意思，不要把我批判一番)
其中染成白色的房间表示生成树，染成黑色的房间表示墙，任何两个白色房间之间有且只有一条路径相连 (根据树的定义)。
这个程序有如下特点：(容我厚颜无耻自吹自擂一番)
所有代码全部由纯 Python 写成，没有用到任何第三方库或者外部软件，也没有任何绘图/染色命令，仅使用了内置的
struct,random模块和一些内置函数。后来的版本中为了显示进度条引入了tqdm；为了把整个动画嵌入一张背景图片引入了pillow，这些都属于特效，本质不需要。实现了一个小型但高效的 gif 编码器，可以在数秒之内生成高度优化的动态图。这是这个程序最让人意外的一点：Python 生成图像的慢是出了名的，你居然告诉我它能在几秒内生成一张包含几百乃至几千帧的 gif 动图？这是个大新闻啊！
严格遵循 GIF89a 协议，生成的图片在 chrome, firefox, IE 和 Eog 下都可以正常显示。
程序运行的相当快，生成一副 600x400 像素，演示 Wilson 算法的动图只要数秒，得到的文件包含 1000~3000 帧，但大小不超过 1M 左右。没想到吧？
其实程序最初的版本比现在要慢 5x~10x 倍左右，而且绝大部分功能都放在一个庞大的类里面 (20+ 个方法)，现在的代码是经过不计其数次的修改，反复绞尽脑汁优化以后才得到的。
程序的核心部分是实现 Wilson 一致生成树算法和一个高效的 gif 编码器，所以除了 Wilson 一致生成树算法，还需要你理解 GIF89a 编码协议以及其中用到的 LZW 压缩算法。这些完全靠自己钻研的话还是很有难度的，要踩的坑非常多。由于篇幅所限这里我只简要介绍一下 Wilson 一致生成树算法，至于 GIF89a 协议，你需要且只需要一份参考：What’s in a gif。
什么是 Wilson 一致生成树算法
考虑如下问题：
问题：给定一个有限无向的连通图 GG，怎样在 GG的所有生成树中等概率地任选一种？(这样选出的生成树由于服从所有生成树上的一致分布，故而得名一致生成树)
你也许会想，这有何难？把所有的生成树都列举出来，然后从中随便挑一个不行吗？让我们以 nn阶的完全图 KnKn为例，根据 Cayley 公式它总共有 nn−2nn−2个不同的生成树，当 n=100n=100时这个数字是 1009810098，远远大于人类已知的宇宙中所有粒子的总数！
目前已知的算法里面，最有效的是 Wilson 在 1997 年的论文
Generating random spanning trees more quickly than the cover time
此文中提出来的，它是一个随机算法，这里随机算法的意思是说算法的运行时间是不确定的，有的时候你可能很幸运很快就找到了一个生成树，也有可能会一直等下去。不过算法以概率 1 会在有限时间内结束，而且大多数情况下它的表现还不错。
理解 Wilson 算法的关键概念是所谓的擦圈的随机游动 (loop erased random walk)：一个图 GG上的随机游动就是从某个初始顶点 v0v0出发，每次从当前顶点 vivi的邻居中完全随机地选择一个 (设为 vi+1vi+1)，然后移动到 vi+1vi+1。这个随机游动的路径记作 {v0,v1,…,vn,…}{v0,v1,…,vn,…}。图 GG上的擦圈的随机游动就是在随机游动的过程中，每当遇到一个先前访问过的顶点 uu时，立刻擦除路径中这两次访问 uu所形成的回路，然后从 uu继续作随机游动。
由定义可见擦圈的随机游动得到的路径中总不包含任何回路。
其实只要你看看开头的 gif 动态图，就很容易直观上理解擦圈的随机游动是怎么回事。
下面我们来介绍 Wilson 的一致生成树算法：
Wilson 一致生成树算法：
选择任一顶点 vv作为根节点，维护一个树 TT，初始时刻 T={v}T={v}。
设 zz是一个不属于 TT的顶点，从 zz出发作擦圈的随机游动，直到这个随机游动撞到 TT为止，然后把随机游动经过的路径加入 TT中。
重复步骤 2 直到 GG的所有顶点都属于 TT，这时得到的 TT就是一个一致生成树。
Wilson 算法的证明有相当的技巧性，本文就没法展开讲了，读者可以参考下面的文献：
Probability on Trees and Networks, by Russell Lyons and Yuval Peres.
关于代码
理解代码的关键有这么几个：
由于 gif 图像的每一帧占据的是整个图像窗口的一个矩形子区域，在一个包含很多帧的动图中，相邻的两帧之间的变动可能很小，没有必要每次都将整个图像所占区域全部编码。我们只需要记录帧和帧之间的变化情况，得出每一帧所占的矩形子区域，每次编码时只针对这个子区域编码即可。这样就大大减小了生成的文件体积。
采用变长的 LZW 压缩算法。GIF89a 协议允许每个打包的数据块指明其所使用的最小码字的长度 (仅适用于本块数据)，如果你确定这一帧图像用到的颜色很少，比如只有 4 种颜色，那么 2 个比特就足以表示这 4 种颜色，从而最小码字长度可以设置为 2。这样根据具体情况采用不同的编码长度能有效减少文件体积。
因为要频繁的进行字节流的操作，所以每次将编码后的数据先写入一个
BytesIO对象中，放在内存里，最后一次性输出到硬盘。由于优化的好，动图大小普遍不超过 3M，所以放在内存里不是问题。
代码的组织结构是简单的三层论：顶层是抽象的 Maze 类，其本质就是一个 2D 网格图，用来跑各种图算法，它不关心动图的任何细节。底层是 GIFSurface 类，负责维护 gif 图片的全局信息，比如大小，循环次数，背景颜色，全局调色板等。中间层是 Animation 类，用来控制帧的信息，在算法运行过程中它按照一定的频率将 Maze 染色并编码写入 GIFSurface。
代码地址(也可点击查看原文获取源码)：https://github.com/neozhaoliang/pywonderland/tree/master/src/gifmaze
今日问题
通过此篇文章，你了解什么是 Wilson 一致生成树算法 ？你对此算法有什么理解？
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为什么打卡？戳下面你就知道了！
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