大话数据结构06—— 树

6.1 树的定义
　　树（Tree）是 n(n≥0) 个结点的有限集。 n=0 时称为空树。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当 n>1 时，其余结点可分为 m(m>0) 个互不相交的有限集 T1、T2、…、Tm ，其中每一个集合本身又是一个树，并且称为根的子树（SubTree）。
　 　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　 需要强调两点：
　1、 n≥0 时根节点是唯一的。
　2、 m>0 时，子树的个数没有限制，但他们一定是互不相交的。

6.1.1 结点分类
　　树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树称为结点的度（Degree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。
　　　　　　

6.1.2 结点间的关系
　　结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），该结点称为孩子的双亲（Parent）。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。
　　

6.1.3 树的其他相关概念
　　结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。
　　
　　如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。
　　森林（Forest）是 m(m>0) 棵互不相交的树的集合。

6.1.4 树和线性结构的比较
　　　

6.2 树的抽象数据类型
　　
6.3 树的存储结构
6.3.1 双亲表示法
　　每个结点中附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。
　 　　　　　　　
　　data是数据域，存储结点的数据信息。而parent是指针域，存储该节点的双亲在数组中的下标。
　 　　　　　　　
　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　
　　根据parent结点很容易找到双亲结点，时间复杂度为 O(1) ，直到parent为-1时，表示找到了树结点的根。如果想知道结点的孩子，则要增加一个结点最左边孩子的域，叫它长子域。如果没有孩子的结点，这个长子域就设置为-1。
　　　　　　　　　　　
　　对于有0个或一个孩子的结点来说，这样的结构是解决了要找结点孩子的问题了。甚至是有两个孩子，知道了长子是谁，另一个当然就是次子了。
　　如果我们很关注各兄弟之间的关系，可以增加一个右兄弟域来体现兄弟关系。如果右兄弟不存在，则赋值为-1。
　　　　　　　　　　

　　存储结构的设计是一个非常灵活的过程。一个存储结构设计的是否合理，取决于该存储结构的运算是否适合、是否方便，时间复杂度好不好等。
6.4.2 孩子表示法
　　每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根节点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。
　　

6.6 二叉树性质
　　性质1：在二叉树的第 i 层上至多有 2i−1 个结点。
　　性质2：在深度为 k 的二叉树之多有 2k−1 个结点。
　　性质3：对任何一个二叉树T，如果其终端节点数为 n0 ，度为2的结点数为 n2 ，则 n0=n2+1 。
　　性质4：具有n个结点的完全二叉树深度为[ log2n ]+1（[x]表示不大于x的最大整数）。
　　性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为[ log2n ]+1）的结点按层序编号（从第1层到底[ log2n ]+1层，每层从左到右），
　　

6.7 二叉树的存储结构
6.7.1 二叉树顺序存储结构
　　顺序存储结构一般只适用于完全二叉树。

6.8 遍历二叉树
6.8.1 二叉树遍历原理
　　二叉树的遍历（traversing binary tree）是指从根节点出发，按照某种次序一次访问二叉树中所有结点，使得每个节点被访问一次且仅被访问一次。
6.8.2 二叉树遍历方法
①　前序遍历
　　若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根节点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。
　　如下图，遍历顺序：ABDGHCEIF。
　 　　 　　　　　　　　　

② 中序遍历
　　若二叉树为空，则空操作返回，否则从根节点开始（注意并不是先访问根节点），中序遍历根节点的左子树，然后是访问根节点，最后中序遍历右子树。
　　如图，遍历顺序：GDHBAEICF。
　　　　　　　　　　　　

③ 后续遍历
　　若二叉树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根节点。如图，遍历顺序为：GHDBIEFCA。
　　　　　　　　　　　　

④ 层序遍历
　　若二叉树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根节点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。如图，遍历顺序为：ABCDEFGHI
　　　　　　　　　　　

6.8.3 前序遍历算法