复变函数-第一章-复数与复变函数

1 复数与复变函数

1.1 复数

实部 x=Re(z),虚部y=Im(z)。

z=x+iy,共轭复数$\bar{z}=x-iy$。

1.2集合表示

$\bar{z}z=|z{|}^2=|z^2|$

幅角Argz=θ，tg(Argz)=$\frac{y}{x}$.

$Argz={\theta }_1+2k\pi$

$Argz的主值{\theta }_0:-\pi <{\theta }_0\le \pi ,记为{\theta }_0=argz$.

z=0时，幅角不确定。

三角不等式：$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|,|z_1-z_2|\ge ||z_1|-|z_2||$

三角表示式：$z=r(cos\theta +isin\theta )$

欧拉公式：$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$

指数表示式：$z=r{e}^{i\theta }$

复球面：。。。

1.3 乘幂与方根

$$\begin{gathered} |z_1{z}_2|=|z_1||z_2| \\ Arg(z_1{z}_2)=Arg{z}_1+Arg{z}_2 \\ Arg(z_2)=Arg(\frac{z_2}{z_1})+Arg(z_1)\Rightarrow Arg(\frac{z_2}{z_1})=Arg(z_2)-Arg(z_1) \\ {z}^n=r^n(cosn\theta +isinn\theta ) \\ DeMoivre公式:(cos\theta +isin\theta {)}^n=cosn\theta +isinn\theta \\ z=r(cos\theta +isin\theta )\Rightarrow w=\sqrt[n]{z}=r^{\frac{1}{n}}(cos\frac{\theta +2k\pi }{n}+isin\frac{\theta +2k\pi }{n}) \end{gathered}$$

1.4 区域

G为一平面点集，z₀为G中任意一点，如果存在z₀的一个邻域，邻域内所有点属于G，那么称z₀为G的内点。如果G内每个点都是它的内点，那么称G为开集。

区域与它的边界一起构成闭区域或闭域，记作$\bar{D}$.

光滑：$z(t)=x(t)+iy(t)[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2\ne 0$

一条连续曲线，重合的点称为重点。没重点的曲线称为简单曲线或若尔当（Jardan）曲线。

单连通域：没洞。

多连通域：有洞。

1.5 复变函数及其极限和连续性

G：定义集合

G^*:函数值集合

连续：${\lim }_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$

函数连续$⟺$实部和虚部分别连续