数学建模算法 一 简述（3）规划模型-线性规划

线性规划的定义：
求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。

根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构：

（1）变量 变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如Xl，X2，X3，Xmn等。

（2）目标函数 将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。

（3）约束条件 约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。

约束条件的数学表示形式为三种
即≥、＝、≤
线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。

线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：
(1) 投资问题—确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效快。
(2) 计划安排问题—确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。
(3) 任务分配问题—分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。
(4) 下料问题—如何下料，使得边角料损失最小。
(5) 运输问题—在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。
(6) 库存问题—如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。

应用线性规划建立数学模型的三步骤：
(1) 明确问题，确定问题，列出约束条件。
(2) 收集资料，建立模型。
(3) 模型求解(最优解)，进行优化后分析。

示例：
咏乐豆腐店用不同质量的黄豆制作两种不同口感的豆腐．制作口感较鲜嫩的豆腐每千克需要一级黄豆0.2kg及二级黄豆0.1kg，售价为5元/kg；制作口感较厚实的豆腐每千克需要一级黄豆0.1kg及二级黄豆0.3kg，售价3元/kg．现小店购入9kg一级黄豆和8kg二级黄豆．问豆腐店应制作两种豆腐各多少kg，才能获得最大收益，最大收益是多少？

解答：

一、模型假设与符号说明
1.假设制作的各种豆腐均能全部售完 ．
2.假设豆腐售价无波动 ．
3.设计划制作口感鲜嫩和厚实的豆腐各 x1kg和x2kg，可获得R元收益 ．

二、模型的分析与建立
该问题是在原材料一定的情况下确定各种豆腐的生产量，以获得最大收益.
目标：获得的总收益最大．而总收益可表示为
R = 5*X(1) + 3*X(2)
约束条件：
1．受一级黄豆数量的限制：
0.2*X(1) + 0.1*X(2) ≤ 9
2．受二级黄豆数量的限制：
0.1*X(1) + 0.3*X(2) ≤ 8

MATLAB源代码

x=sdpvar(1,2);
C=[5 3];
a=[0.2 0.1;0.1 0.3];
b=[9 8];
f=C*x';
F=set(0<=x<=inf);
F=F+set(a*x'<=b');
solvesdp(F,-f);
double(f)
double(x) 

即一级豆腐38KG 二级豆腐14KG 效益最大 最大为232