取模运算（C++）

网上查到的资料

-7 % 3 = ?
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那这个呢？

7 % (-3) = ？
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正整数的取模大家应该玩的很溜了，(什么，正数的都不会，那自己去谷歌吧，百度也行。) 对于负数呢，上周有人在一个群里问这个问题，我以为我是会的，后来发现我的答案是错的，索性就去研究了一番。

带着问题我打开了维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Modulo_operation ，看到了这段话。

在几乎所有的计算系统中，取模运算都满足下面这个公式：

a = nq + r |r| < |a|
假设 q 是 a、b 相除得到的商(quotient)，r 是相应的余数(remainder)
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然而，取模操作又依赖于编程语言和底层硬件。

我们现在用这个工具地址 https://c.runoob.com/ 打开我学习的语言，比如 Java/C，会发现

-7 % 3 = -1
7 % (-3) = 1
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既然编程语言决定了结果，那换一种语言，比如 Python，发现结果竟然真的不一样，你说神奇不神奇。

-7 % 3 = 2
7 % (-3) = -2
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这是为什么呢？

我们知道，当余数不为 0 的时候，取整除(符号是「/」，叫法不一样，可以纠正我一下)，可能出现多种方式，下面是一些你应该知道的例子。

向上取整。向 +∞ 方向取最接近精确值的整数，也就是取比实际结果稍大的最小整数，也叫 Ceiling 取整。这种取整方式下，

17 / 10 = 2，5 / 2 = 3, -9 / 4 = -2
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向下取整。向 -∞ 方向取最接近精确值的整数，也就是取比实际结果稍小的最大整数，也叫 Floor 取整。这种取整方式下，

17 / 10 = 1，5 / 2 = 2, -9 / 4 = -3
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向零取整。向 0 方向取最接近精确值的整数，换言之就是舍去小数部分，因此又称截断取整（Truncate）。这种取整方式下，

17 / 10 = 1，5 / 2 = 2, -9 / 4 = -2
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我们再来看刚才的公式

a = nq + r
我们知道商 q = a/n，从而得出
r = a - (a/n) * n
而 (a/n) 这个结果取决于上面几种方式用哪个
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下面我们就重点看这个 (a/n)

常用的计算机语言用的除法方式是下面这两种，truncate 除法 和 floor 除法。

truncate 除法 即是上面的向零取整，也叫趋零截尾，而 floor 除法 即是上面的向下取整，也叫趋负无穷截尾。

而 Java/C 等语言用的是 truncate 除法，Python 用的是 floor 除法。

这下就明白了吧，现在我们再来看开始的面试题。

在 Java/C 中，

-7 % 3 = -1
7 % (-3) = 1
// 下面是推倒过程
-7 % 3 = -7 - trunc(-7/3) * 3 = -7 - (-2) * 3 = -7 + 6 = -1
7 % (-3) = 7 - trunc(7 / (-3)) * (-3) = 7 - (-2) * (-3) = 7 - 6 = 1
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在 Python 中，

-7 % 3 = 2
7 % (-3) = -2

下面是推倒过程

-7 % 3 = -7 - floor(-7/3) * 3 = -7 - (-3) * 3 = -7 + 9 = 2
7 % (-3) = 7 - floor(7 / (-3)) * (-3) = 7 - (-3) * (-3) = 7 - 9 = -2

自己在学习C++ primer时遇到如下问题

unsigned char c = -1; 时输出的是255（需要使用（int）c才可显示）
unsigned int c = -1; 时输出的是4294967295
cout << -1 % 256 << endl 输出的结果是-1
最终会发现： cout << -A << endl 得出的结果会是2的N次方-A。