几何变换——关于透视变换和仿射变换以及齐次坐标系的讨论

几何变换——关于透视变换和仿射变换以及齐次坐标系的讨论

2019/10/26 FesianXu

前言

在本文首先介绍了引入齐次坐标系的必要性，随后介绍了在几何变换中常见的投射变换和仿射变换，这俩种变换在计算机视觉问题中，包括在相机成像过程中都是很基础并且重要的内容。
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齐次坐标系的引入

投影变换的背景

我们对于投影变换(projective transformation) 其实是一点的不陌生的，假设我们在看一张照片时，我们经常会发现本来应该是平行的线条，却变得不平行了，如Fig 1.1所示。更一般地说，在投影变换中，大部分的几何属性，比如长度，角度，比例，平行性等，都可能不能保留了，但是有一点我们是可以确保的，那就是 直线在变换前后始终还是直线。

Fig 1.1 本来应该是平行的马路，在相机成像的时候，则变成了“不平行”，汇聚于无限远处的消失点(vanishing point)。

Fig 1.2 现代的绘画作品很多采用了透视的方法增强了立体感，这是在仿照人类视觉的特点。

我们考虑到在欧式几何(Euclidean Geometry)中，其实有一些概念是有些“麻烦之处”的，比如说到平行这个概念，我们知道在欧几里德空间中，两个直线都会交于一点，当然除了平行线之外，这让平行线处于在一个很特殊的地位。如果我们熟悉编程我们就不难发现，当有个编程对象处于特殊地位时，我们就不得不单独考虑他，使得整个程序变得不能通用(general)起来，这个是个糟糕的事情。

当然，我们也可以耍滑头，说在欧几里德空间里，平行线相交于无限远的点处，这当然没问题。但是，“无限远”这种概念其实是为了方便定义出来的，实际上并不存在。不管怎么样，我们把平行线相交于的无限远的点，称之为 理想点(Ideal point)。

通过添加了这个理想点，我们把欧几里德空间(Euclidean Space)转变成了投影空间(Projective Space)，很简单吧，但是我们后面将会发现，我们的很多投影变换都只能在投影空间中进行，在没有定义出理想点的欧式空间，我们根本对这些变换无能为力。总而言之， 在投影空间中，所有的线最终都能够相交了。因为所有的理想点都有着相同的距离，所以在二维的投影空间中，所有的平行线其实都是交于由所有理想点组成的“理想直线”上的。同样的，在三维投影空间中，所有的平行面都交于一个“理想平面”。我们如果用符号${\mathbb{R}}^2$表示二维的欧式空间，那么用${\mathbb{P}}^2$表示二维的投影空间。

坐标表达

我们都知道一个在二维平面上的点可以用一组有序的二元对表示，如$(x,y)$。我们在此引入 齐次坐标(homogeneous coordinate) 的表达，我们将同样的二维点$(x,y)$表示成$(x,y,1)$，并且，其等价于$(kx,ky,k),k\ne 0$。 我们发现，基本上所有的齐次坐标表达$(x,y,c)$，都可以找到相对应的非齐次坐标表达方式$(x/c,y/c,1)$，除了一个最为特殊的点$(x,y,0)$。这个点如果硬要用非齐次的方式去表示，那么只能表示为$(x/0,y/0,1)$，我们发现，这个方式其实就是在齐次坐标系里面定义出了理想点这个概念，并且的，这个处于无限远处的理想点和普通点有着一致的表达方式，意味着可以用和普通点一样的处理方式去处理理想点这个概念了。

这个正是投影空间的精髓之处，在投影空间中，我们用齐次坐标去表示点，把空间中的点所有都看成是等价的，这样就不存在普通点与理想点的区别了，而且在这个空间中，所有的直线都会相交，因此也不存在平行性这个概念了。笔者在这里举个在投影空间处理点的变换的例子，假如现在在投影空间${\mathbb{P}}^n$中定义了一个变换，我们首先用齐次坐标表示这个空间中的元素先，其是一个$(n+1)$维的向量，然后，我们定义这个变换，这个变换应该是一个矩阵，我们称之为单应性矩阵（homography），$\mathcal{H}\in {\mathbb{R}}^{(n+1)\times (n+1)}$，因此这个变换结果最后为:
$${\mathbf{X}}^{\prime }=\mathcal{H}\mathbf{X}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
通过这种方法，我们会发现我们同时可以考虑在欧式空间中的平行线和非平行线。这对处理投影变换非常的方便，因为投影变换是不保留平行性这个几何属性的，因此在变换的过程中，可能需要将平行线变换成非平行的。

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仿射变换和透视变换

投影变换可以细分为 仿射变换(affine transform) 和 透视变换(perspective transform)，以及 广义的投影变换(general projective transform)。我们分别介绍下。
PS：注意，我们这里的点是二维点，也就是$\mathbf{x}=(u,v,1{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^3$，因此，单应性矩阵是$\mathcal{H}\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$。如果延展到三维空间的点变换，那么点就是三维点，为$\mathbf{X}=(u,v,w,1{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^4$，单应性矩阵$\mathcal{H}\in {\mathbb{R}}^{4\times 4}$。

仿射变换

仿射变换(affine transform)在变换前后，保留了元素的平行性，也就是说，在变换前是平行线的，在变换后同样也是平行线。仿射变换可以表示为一组线性变换，如(2.1)，同时，在齐次表达下，仿射变换通常可以用一个$2\times 3$的矩阵表达（二维情况下），如(2.2)。
$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}u+a_{12}v+a_{13}\\ a_{21}u+a_{22}v+a_{23}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

通过对这六个元素的某些约束，比如令某些为0，为1等，我们将仿射变换又分成了以下若干种。

尺度放缩(scale)

尺度放缩(scale)的变换矩阵如：
$$\mathcal{H}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 1\\ 0& a_{22}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

Fig 2.1 尺度放缩示意图。

平移(translate)

平移(translate)的变换矩阵如：
$$\mathcal{H}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a_{13}\\ 0& 1& a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

Fig 2.2 平移示意图。

切变(shear)

切变(shear)的变换矩阵如：
$$\mathcal{H}=\left[\begin{array}{ccc}1& a_{12}& 0\\ a_{21}& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

Fig 2.3 切变示意图。

旋转（rotate）

旋转(rotate)的变换矩阵如：
$$\mathcal{H}=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

Fig 2.4 旋转示意图。

可组合性

注意到仿射变换其是可以组合的，比如一个变换可以是先平移，后旋转，最后放缩，那么其变换矩阵为:
$$\mathcal{H}=\mathcal{S}((\mathcal{R}(\mathcal{T}\mathbf{X})))\text{\hspace{1em}(2.7)}$$
其中$\mathcal{S}$代表放缩变换，$\mathcal{R}$代表旋转变换，$\mathcal{T}$代表平移变换。

但是，我们也要注意到，一般来说其是不具有交换性的，比如先平移在旋转一般结果和先旋转后平移是不同的，即是：
$$\mathcal{T}\mathcal{R}\ne \mathcal{R}\mathcal{T}\text{\hspace{1em}(2.8)}$$
其本质是矩阵乘法的不可交换性。

透视变换

透视变换(perspective transform)在变换前后不再保留所有元素的平行性了，但是变换前后，直线还是保持是直线，使用这种变换能提供3D的视觉效果。

Fig 3.1 透视变换，不能保证保留所有的平行性。其原先的平行线可能相交于理想点，也就是图中的消失点(vanishing point)。

我们同样用齐次坐标去表示这个变换，其变换矩阵的形式如:
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ a_{31}& a_{32}& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3.1)}$$
观察变换过程(3.2)，我们发现本来在仿射变换中为1的$w$不再是1了。
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ a_{31}& a_{32}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ a_{31}u+a_{32}v+1=w\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3.2)}$$
将其表示为非齐次的形式，我们有：
$$\left[\begin{array}{c}u/w\\ v/w\\ 1\end{array}\right]$$
我们发现其是一个非线性变换，因此，透视变换其是一个非线性变换，处于无限远处的点可能会被移到有限处，处于有限点也可能会被移到无限点处，正是因为如此，平行性才不能被保留了。

Fig 3.2 透视变换的例子。

我们这里举个例子，假设有个透视变换矩阵:

$$\mathcal{H}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$$
我们于是有转换过程:
$$\mathcal{H}\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ u+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{u}{u+1}\\ \frac{v}{u+1}\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3.3)}$$
我们有:
$$\begin{array}{rl}\underset{u\to \infty }{\lim }\frac{u}{u+1}& =1\\ \underset{u\to \infty }{\lim }\frac{v}{u+1}& =0\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$
我们发现这个极限点正是其消失点的坐标。

广义投影变换

我们要注意到，透视变换其本质是广义的投影变换中的一种特殊情况，广义透视变换的变换矩阵如：
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

同样的，其也是一种非线性变换。在二维情况下我们有：
$$\begin{array}{rl}x& =\frac{a_{11}u+a_{12}v+a_{13}}{a_{31}u+a_{32}v+a_{33}}\\ y& =\frac{a_{21}u+a_{22}v+a_{23}}{a_{31}u+a_{32}v+a_{33}}\end{array}$$

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Reference

[1]. Hartley R, Zisserman A. Multiple View Geometry in Computer Vision[J]. Kybernetes, 2008, 30(9/10):1865 - 1872.