[学习笔记]NOIp2017小凯的疑惑及其推广

小凯的疑惑题面
两个数a,b，求最大的不能被a、b表示的数
2017年我没参加提高组，所以没有体会到此题毒瘤程度，据说一堆大佬死在了这题上面
首先，结论题，猜结论十分简单：$a\ast b-a-b$
那么怎么推出来呢
以样例3、7为例
建立一个n*7的矩阵

红色部分都是能表示的，显然，答案是11（最大的白色的数）
我们可以发现矩阵中的某些性质

• 上下相邻的两个数相差7
• 每一列中第一个红色的数一定是第一个被3整除的数（除了最后一列）

因为上下相邻的两数相差7，所以一列中只要其中一个能被表示出来，那么正下方的数就一定可以被表示出来
那么一列中最小的能被表示出来的数一定是3k（最后一列不讨论，因为最后一列是7的倍数）

然后发现11下方18刚好是几列中最大的最小的能被表示出来的数
再来看一组好的数据：4、7
建立一个4*7的矩阵

发现规律了没？
$21=3\ast 7=(4-1)\ast 7$
$17=21-4=(4-1)\ast 7-4=4\ast 7-4-7$
感性理解一下就行了
题目样例也是如此，公式就这么推出来了（看图理解更便捷，我口头论述不清）
代码就不放了~~

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接下来是升级版

首先这道题可以非常容易得拿到30分小凯的疑惑结论输出；以及40分暴力完全背包，就不加阐述了
想想满分的怎么打

对上面的图加深理解

发现每一列分别对4取模为1、2、3、0
像一个说法来描述每一列中最小的那个能被表示出来的数
比如21是%4=1的数中最小的能被7表示出来的数
14是%4=2的数中最小的能被7表示出来的数，以此类推
然后，每一列中最大的不能被7表示出来的数是：最小的能被7表示出来的数-4
然后答案是对每一列中最大的不能被7表示出来的数再取个max
也就是$max(每一列中最小的能被7表示出来的数-4)$

若输入a,b（不妨令a$max(每一列中最小的能被b表示出来的数-a)$

若输入三个数呢，设输入a,b,c(不妨令a 是不是像上面一样建立一个n*a的矩阵，然后每一列中用b,c去表示数，
答案就是$max(每一列中最小的能被b，c表示出来的数-a)$

那么有n个数的话一样也可以搞

那么看看这道强化题，发现x1<=1e6，说明列数<=1e6
令dis[u]表示最小的能被x2,x3……xn表示的%x1=u的数
dis数组可以跑最短路求得（x1<=1e6，没毛病）
然后答案是max(dis[i]-x1)

是不是很简单？
在这里放个官方题解，不过及其省略

很明显，题解把怎么做说的清清楚楚，但是为什么并没有解释，所以我就是来解释一下为什么~~
我最短路用了堆优dijk，比spfa稳定

Code：

#include 
#define maxn 1000010
#define LL long long
using namespace std;
const LL inf = 9999999999999999;
struct node{
    int num;
    LL len;
    bool operator < (const node &x) const{
        return len > x.len;
    }
};
priority_queue <node> q;
int n, p, vis[maxn];
LL dis[maxn], a[maxn];

inline LL read(){
    LL s = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') w = -1;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
    return s * w;
}

int main(){
    freopen("sequence.in", "r", stdin);
    freopen("sequence.out", "w", stdout);
    n = read();
    if (n == 2){//n=2,小凯的疑惑特判，因为这个情况x1<=1e9，无法最短路
        LL x = read(), y = read();
        printf("%lld\n", x * y - x - y);
        fclose(stdin); fclose(stdout);
        return 0;
    }
    p = read();
    for (int i = 1; i < n; ++i) a[i] = read();
    q.push((node) {0, 0});
    for (int i = 1; i < p; ++i) dis[i] = inf;
    while (!q.empty()){//最短路过程
        node tmp = q.top(); q.pop();
        if (vis[tmp.num]) continue;
        vis[tmp.num] = 1;
        for (int i = 1; i < p; ++i){
            LL u = (tmp.num + a[i]) % p;
            if (dis[u] > tmp.len + a[i]){
                dis[u] = tmp.len + a[i];
                q.push((node) { u, dis[u] });
            }
        }
    }
    LL ans = 0;
    for (int i = 1; i < p; ++i) ans = max(ans, dis[i] - p);//求得答案
    printf("%lld\n", ans);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}