信号处理中各种变换的关系图

#前言
在学习信号与系统以及后面的数字信号处理时，各种变换的定义和关系一直很让人头疼。在复习过程中我简单整理了一下各种变换的定义和关系，希望能对大家理解信号在时域频域之间的变换有所帮助。因为能力有限，所以如果有错误，欢迎在留言指正！

关系图汇总

连续信号

周期信号的傅里叶级数 FS

周期函数可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数，所展开的无穷级数统称为傅里叶级数。设有周期函数$x_a(t)$，它的周期是T，角频率$\Omega =2\pi F=\frac{2\pi }{T}$，它可分解为

三角函数形式

$$x_a(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos(n\Omega t)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sin(n\Omega t)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}cos(n\Omega t+{\phi }_n)$$
傅里叶级数$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}_a(t)cos(n\Omega t)dt,n=0,1,2,...$$
$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}_a(t)sin(n\Omega t)dt,n=1,2,...$$
$$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},{\phi }_n=-arctan(\frac{b_n}{a_n})$$

指数形式

$$x_a(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{X}_n{e}^{jn\Omega t}$$
傅里叶级数
$$X_n=\frac{1}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}_a(t)e^{-jn\Omega t}dt,n=0,\pm 1,\pm 2,...$$

非周期信号的傅里叶变换 FT

如果周期性脉冲的重复周期足够长，使得后一个脉冲到来之前，前一个脉冲的作用实际上早已消息，这样的周期信号可以作为非周期信号处理。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。当$T\to \infty$时，频谱密度函数为
$$X_a(j\omega )=\underset{T\to \infty }{\lim }{X}_{n}T={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_a(t)e^{-j\omega t}dt$$
傅里叶逆变换为$$x_a(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{X}_a(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$$
傅里叶变换存在的充分条件是在无线区间内$x_a(t)$绝对可积，即$${\int }_{-\infty }^{\infty }|x_a(t)|dt<\infty$$但它非必要条件。

周期信号的傅里叶变换 公式1

现在考虑一个周期为T的周期函数$x_a(t)$，它可以展开成指数形式的傅里叶级数$$x_a(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{X}_n{e}^{jn\Omega t}$$
对该式的等号两端取傅立叶变换，得
$$X(j\omega )=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }{X}_n\delta (\omega -n\Omega )$$
上式表明，周期信号的傅里叶变换由无穷多个冲奇函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率$n\Omega (n=0,\pm 1,\pm 2,...)$处，其强度为各相应幅度$F_n$的$2\pi$倍。

单边拉普拉斯变换 LT

为了解决傅里叶变换的局限性，引入复频率进行复频域分析。因果信号$x_a(t)\epsilon (t)$，记$s=\alpha +j\omega$，其拉普拉斯变换为
$$X_a(s)={\int }_{0_{-}}^{\infty }x(t)e^{-st}dt$$
其逆变换为
$$x(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\alpha -j\infty }^{\alpha +j\infty }{X}_a(s)e^{at}ds$$
为使拉普拉斯积分式绝对且一致收敛，因果函数$x_a(t)\epsilon (t)$必须满足：（1）在有限区间$a<t<b$内（其中$0\le a<b<\infty$）可积，（2）对于某个${\alpha }_0$有$$\underset{t\to \infty }{\lim }|x_a(t)\epsilon (t)|e^{-\alpha t}=0,\alpha <{\alpha }_0$$此时对于$Re[s]=\alpha <{\alpha }_0$，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。

离散序列

采样

我们往往可以通过周期采样一个模拟信号来得到序列，这样一来，序列中的第n个数的数值就等于模拟信号$x_a(t)$在时刻nT处的值，即$$x(n)=x_a(t),-\infty <n<\infty$$T称为采样周期，其倒数就是采样频率。

非周期序列的离散时间傅里叶变换 DTFT

定义非周期序列$x(n)$的离散时间傅里叶变换为
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$
其逆变换为$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$
它把序列$x(n)$表示成频率在$2\pi$的区间范围内，由$X(e^{j\omega })$确定每一个复正弦分量相对大小的无限小复正弦的叠加。

Z变换 ZT

由于离散时间傅里叶变换不是对所有的序列都收敛，所以将其推广到z域。Z变换$X(z)$定义为
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$$
其逆变换为
$$x(n)=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{c}X(z)z^{n-1}dz$$
由定义式可见当$z=e^{jw}$时，Z变换就变为了离散时间傅里叶变换，或者说离散时间傅里叶变换就是在单位圆上进行Z变换。

周期序列的离散傅里叶级数 DFS

将序列$x(n)$进行周期延拓我们就可以到到周期序列$x(n)$，其周期为N，即有$$x(n)=x(n+lN),(l为任意整数)$$
通过周期信号的傅里叶级数可以推导出周期序列的离散傅里叶级数为$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$
逆变换为 $$x(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$$

有限长序列的离散傅里叶变换 DFT

设长度为N的有限长序列$x(n)$ 的区间为$[0,N-1]$，其余各处皆为0，即$$x(n)=\{\begin{array}{ll}x(n),& \text{0≤n≤N−1}\\ & \\ 0,& \text{n为其余值}\end{array}$$可以将其看作周期序列$x(n)$ 的一个周期，其离散傅里叶变换定义为
$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}0\le k\le N-1$$
反变换为$$x(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}0\le n\le N-1$$
可以看出DFT即在区间$[0,2\pi )$内对DTFT进行N点等间隔采样，也就是在单位圆上对Z变换进行N点等间隔采样。

周期序列的离散傅里叶变换 公式2

与周期信号的傅里叶变换类似，我们可以将周期序列的离散傅里叶变换看作是频域的脉冲幅值正比于序列DFS系数的一个脉冲串。$x(n)$ 离散傅里叶变换定义为脉冲串
$$X(e^{j\omega })=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\frac{2\pi }{N}X(k)\delta (\omega -\frac{2\pi k}{N})$$
可见$X(e^{j\omega })$是周期的，周期为$2\pi$。这是因为$X(k)$的周期为N，是$\frac{2\pi }{N}$的整数倍。

写在最后

整理这篇文章的初衷是女朋友叫我帮她找这些变换的关系图，我在百度上找了好久，始终没有一个较为完善的版本，于是就萌发出了自己写一篇的想法。在整理的过程中，发现自己对很多变换的定义和关系掌握的其实很差，遇到了很多问题，也因此又翻阅了当时信号与系统的教材和奥本海姆的离散时间信号处理。
文章中我只简单的列举了各个变换的定义式，具体条件和性质大家可以自行翻阅教材。关于变换关系图，如果有错误，欢迎在留言区指正。