散点轮廓算法——Alpha Shapes

背景

项目原因，需要自动勾勒出一些密集散点的边界，最先想到的是凸包算法，但是明显不符合我的要求，比如我需要求下图（a）中的边界，但是用凸包算法得到的是（b）中的结果，我们理想的结果是（c）中得到的边界，这时候就要寻求另一种算法。

在网上查找的过程中接触了Alpha Shapes的概念，发现正好满足我的要求，在此进行记录：
Alpha Shapes表示一组无序空间点的边界，这个边界不一定是凸的，也不一定是联通的，但是其一定程度上表示了这一组离散点的轮廓。通过调节参数可以使边界更加精细或粗糙。

算法描述

最简单的算法

Alpha Shapes算法思想如下：
（1）设置一个判别半径R（决定了边界的精细程度，越小越精细）；
（2）假设数据集有n个无序点，过任意两点P1、P2绘制半径为R的圆（排除两点间距离为2R的情况，显然满足要求的圆通常有两个），如果任意一个圆内没有其他数据点，则认为点P1、P2是边界点，其连线P1P2为边界线段。
（3）n个数据点两两相连共可形成(n*(n-1))/2条线段，逐条进行判断求解。

优化算法

上述的算法时间复杂度明显过高，当数据点数目太多时运算效率很低。我们可以通过设置额外的判别条件加快效率：
（1）当P1P2的长度大于2R时，跳过（一些离群点就可以被排除在外）

最优算法

数据点太多时，简化后的计算量还是较大。为了减少计算量，我们可以先先建立所有散点的Delaunay三角网，再从三角网的外边界开始判断。但是建立Delaunay三角网的算法手动实现有困难，暂且搁置，有待日后再进行优化。。。