MATLAB之拉氏变换
一、复数和复变函数
1、复数的三种表现形式：
坐标形式：
三角形式：![z=r*[cos(\theta )+i*sin(\theta )]](http://img.e-com-net.com/image/info8/3528f443813a4515bb8989d57ded1251.gif){kind=small}
指数形式：
2、复变函数：
复数集E内的每一个复数z=a+b*i，都有(唯一确定的/无穷多个/有限个)复数
与之对应,可以确定（单值/多值）复变函数。
3、零点和极点
![G(s)=[k*(s-z1)*(s-z2)]/[s*(s-p1)*(s-p2)]](http://img.e-com-net.com/image/info8/6a861b4c7d3f4b8a8d0db6ead13ef8a1.gif){kind=small}
零点：分子为零的点，即G(s)=0时,s=z1,z2叫做G(s)的零点；
极点：分母为零的点，即G(s)=∞时,s=p1,p2叫做G(s)的极点；
二、拉氏变换
1、拉氏变换
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)的函数。拉氏变换建立了时域与复频域(s域)之间的联系。
![F(s)=L[f(t)]=\int_{0}^{+oo}f(t)*e\wedge (-st)*dt](http://img.e-com-net.com/image/info8/6115dc67678b4d2d88e98c0cf6089c81.gif){kind=small}
式中，s=a+b*i为复变数,f(t)又称为原函数，F(s)又称为象函数。
2、拉式逆变换
拉氏变换是将时间函数F(s)变换为复变函数f(t)的函数。
![f(t)=L\wedge (-1)[F(s)]=\int_{a-b*i}^{a+b*i}F(s)*e\wedge (st)*ds](http://img.e-com-net.com/image/info8/3bd87386df2b4e75861defa4a66b125f.gif){kind=small}
式中，s=a+b*i为复变数,f(t)又称为原函数，F(s)又称为象函数。
3、典型时间函数的拉氏变换
欧拉公式：e^iθ=cosθ+isinθ,
推倒可得：（正余弦函数拉氏变换推导使用）
sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2i
cosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2i
单位阶跃函数：
， 
单位脉冲函数：
单位斜坡函数：
指数函数：
正弦函数：
余弦函数：
幂函数：
4、拉氏变换的性质
叠加定理
齐次性：L[a*f(t)]=a*F(s)、叠加性：![L[f1(t)+f2(t)]=F1(s)+F2(s)](http://img.e-com-net.com/image/info8/3dafa585ed224fc6af65a71a0c5f3e90.gif){kind=small}
，齐次性和叠加性的组合起来就是拉氏变换的线形性质
线性性质：![L[k1*f1(t)+k2*f2(t)]=k1*F1(s)+k2*F2(s)](http://img.e-com-net.com/image/info8/a6b0b392dcce40208f50c6ad52c4daf3.gif){kind=small}
微分定理
L[df(t)/dt]=s*F(s)-f(0) 同理可得f(t)的各阶导数的拉氏变换时：
L[d^2f(t)/dt]=s^2*F(s)-s*f(0)-f'(0)
L[d^3f(t)/dt]=s^3*F(s)-s^2*f(0)-s*f'(0)-s''(0).......
复微分定理
L[t*f(t)]=-dF(s)/d(s)、
L[t^2*f(t)]=-d^2F(s)/d(s^2)、
......、
L[t^n*f(t)]=-d^nF(s)/d(s^n)
积分定理
![L[\int f(t)dt]=F(s)/s+f^\wedge (-1)(0)/s](http://img.e-com-net.com/image/info8/8de4da6cfdf94c2db1a5e164c90d54e4.gif){kind=small}
多重积分：
![L[\int...\int f(t)dt]=F(s)/s^n+f^\wedge (-1)(0)/s^n+...+f^\wedge (-1)(0)/s](http://img.e-com-net.com/image/info8/b623575ab8f54608b9b49e2c7e4e5bb9.gif){kind=small}
位移定理
L[e^(-at)*f(t)]=F(s+a)
延迟定理
L[f(t-a)]=e^(-a)*F(s),函数f(t-a)为函数f(t)延时间轴延迟了a。
初值定理和终值定理
原函数在t=0处的初值，等于s*【F(s)的终值】
原函数在t=+∞处的终值，等于s*【F(s)的初值】
卷积定理
两个原函数卷积的拉氏变换=它们象函数的乘积
L[f(t)*g(t)]=F(s)*G(s)
三、拉氏逆变换
拉氏逆变换有三种方法：查表法、留数定理法、部分分式法。
1、查表法：由拉氏变换表直接查出与像函数F(s)对应的原函数f(t)。
2、留数定理法：利用留数定理计算像函数的原函数。
3、部分分式法：先把像函数分解为部分分式，再对各个分式进行逆变换。
这里给出了拉氏逆变换例题的网址，读者可以自行练习。
https://wenku.baidu.com/view/d6335d6f3968011ca300915a.html
四、matlab代码
%拉式变换
clc
clear
syms s t
y=exp(-t)*cos(t); %原函数
LY=laplace(y) %拉氏变换
L_1=ilaplace(LY) %拉氏逆变换
e=L_1-y %做差检查结果是否正确
%原函数与象函数图像绘制
subplot(1,2,1)
fplot(y);%原函数图像
title("原函数图像")
legend("原函数")
subplot(1,2,2)
fplot(LY)%象函数图像
title("象函数图像")
legend("象函数")