整数转浮点数精度溢出的原因和处理方式

       对于64位浮点数来说，其尾数有53位（包含首位的隐藏位），当一个整数转为浮点数时，只有当该整数的二进制位数不超过53位时，64位浮点数才可以精确的表示该整数，不然会造成精度丢失。试想一下，当一个十进制整数的二进制有54位，那么最后一位无法准确储存，64位浮点数就会造成精度的丢失，自然地，当位数超过53位后，64位浮点数的可表示整数并不是连续的。

       在笔者的这篇文章《浮点数的各种最值推算以及对python sys.float_info的解释》中，讲过浮点数能在该范围内精确表示的最大十进制整数为9007199254740991。那么如果一个整数大于该数，即其二进制位数超过53位，浮点数是怎么表示的呢？即当一个整数转成浮点数时，如果造成了精度溢出，那么浮点数对此是怎么处理的呢？
       首先我们来看一个简单的精度丢失的例子，如下所示。d就是9007199254740991，然后我们逐渐增加1，发现d+2,d+4,d+6的浮点数表示都是有误差的，即造成了精度丢失。

d=9007199254740991
float(d+1)
[out]:
9007199254740992.0

float(d+2)
[out]:
9007199254740992.0

float(d+3)
[out]:
9007199254740994.0

float(d+4)
[out]:
9007199254740996.0

float(d+5)
[out]:
9007199254740996.0

float(d+6)
[out]:
9007199254740996.0

       从上面例子可以看到，d+2,d+4,d+6是有误差的，但是d+1,d+3,d+5是没有误差的。有的有误差，有的没有误差，而且对于有误差的来说，有的是偏小，有的是偏大的，比如d+4是偏大的，而d+6是偏小的，这和浮点数对其的特殊处理方式有关，下面我们来说明这是为什么。

       我们截取上面数字二进制的最后五位来进行说明。对于d，其最后五位为11111，但是对于d+1，其变成了54位，并且首位是1，其他全是0，所以其最后五位是00000，同样的d+2为00001，d+3为00010，d+4为00011，d+5为00100，d+6为00101。除了d本身，其他的数字的最后一位都是超出了53位的，排在第54位，因此无法被64位浮点数储存。首先对于第54位是0的数字，我们发现64浮点数对其表示是准确的，并没有误差，这是因为虽然64位浮点数尾数不够，但是其指数是足够的，而指数对二进制的作用类似十进制一样，最后是在尾数的有效数字后面添加0，因此对于第54位是0的数字，浮点数可以准确表示，这就是为什么对d+1,d+3和d+5的表示没有误差的原因。

       但对于d+2,d+4和d+6，我们发现d+2和d+6都是偏小1，d+4是偏大1的。这是因为，当浮点数无法准确表示一个整数时，其约定，将该整数近似到一个最靠近该整数本身的可以表示的浮点数，因为最靠近一个整数的数，那么只有偏大最靠近和偏小最靠近两种情况，如果偏大最靠近和偏小最靠近距离该整数一样近，则选取让最低位（即第53位）为0的那个浮点数。比如对于d+2，其最后五位为00001，那么偏大最靠近的数为00010，偏小最靠近的数为00000，由于这种距离00001都一样近的情形选择的是让第53位为0的情形，所以浮点数最终表示的是0000+0，最后一个0通过指数的移位得到，所以最终得到的数是偏小1的；同理的，对于d+4，偏大最靠近是00100，偏小最靠近是00010，所以选择的是00100，所以最终表示的是偏大1,；对于d+6，偏大最靠近是00110，偏小最靠近是00100，所以选择的是00100，所以最终表示的是偏小1。

       最后需要注意的是，以上举的例子都是54位的，如果整数更大，超过的位数更多，那么偏大最靠近和偏小最靠近的可表示浮点数就不仅仅是相差1了，很可能会造成更大的误差，因具体的数字而已。