涂色问题 阿里编程机试题目

• 题目

一道阿里面试编程题目：将一个圆形等分成N个小扇形，将这些扇形标记为1，2，3,…，N。现在使用M种颜色对每个扇形进行涂色，每个扇形涂一种颜色，且相邻的扇形颜色不同,问有多少种不同的涂法?（N≥1，M≥3）

• 解题思路

这道题正常的思路很麻烦，如果用递归算法的话就比较简单。

递归，先找规律。设一共有f(n,m)种涂法，那么就找f(n,m)和前一项的关系。

考虑一种特殊情况，N=4，如下图所示，有两种情况需要考虑，分为A、B不同色（左）和A、B同色（右）两种情况，则
f(4,m)=m (m-1) (m-2)(m-2)+m(m-1)(m-1)=m(m-1)(m^2-3m+3)

如下所示

那么，当N=5时，有如下情况：

f(5,m)=(m (m-1) (m-2)(m-2)+m(m-1)(m-1))(m-1)=m(m-1)(m^2-3m+3)(m-1)= f(4,m) (m-1)
可见f(5,m)比f(4,m)多了(m-1)一项，简单推理可知当N≥5时有：
f(n,m) = f(n-1,m) (m-1)

现在考虑特殊情况下的f(n,m)，N分别为3，2，1时，f(3,m)=m (m-1) (m-2);f(2,m)=m (m-1) ;f(1,m)=m.

• 参考代码

至此，所有的情况都已考虑清楚，最后将思路转化为代码，如下供大家参考：

#include 
using namespace std;

int calculate(int n, int m) {

    int num;

    if (n < 1 || m < 3) return 0;

    if (n == 1) num = m;
    else if (n == 2) num = m * (m - 1);
    else if (n == 3) num = m * (m - 1) * (m - 2);
    else if (n == 4) num = m * (m - 1) * ((m - 1) + (m - 2) * (m - 2));
    else num = calculate(n - 1, m) * (m - 1);

    return num;

}

int main() {
    int n = 1,m = 3,res;

    while (1) {
        cout << "请输入n：" << endl;
        cin >> n;
        cout << "请输入m：" << endl;
        cin >> m;
        cout << "n=" <",m=" << m<< endl;
        res = calculate(n, m);
        cout << "结果：" << res <cout << "----------------" << endl;
    }

    return 0;
}

• 测试
  提供几组数据以供测试：
  f(3,3) = 6
  f(6,3) = 72
  f(4,4) = 84
  f(5,4) = 252
• 总结
  这道编程题目，使用递归算法，如果要用其他正常思路可能考虑的情况会更加复杂，可能由于个人水平问题写的不是很完美，代码仅供参考，如果有错误的地方希望能够指出，相互学习！