Ising模型（伊辛模型）

Ising模型（伊辛模型）是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，可用于描述很多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。

    科学家对该模型的广泛兴趣还源于它是描述相互作用的粒子（或者自旋）最简单的模型。Ising模型是一个非常简单的模型，在一维、二维、三维的每个格点上占据一个自旋。自旋是电子的一个内部性质，每个自旋在空间有两个量化方向，即其指向可以向上或者向下。尽管该模型是一个最简单的物理模型，目前仅有一维和二维的精确解。

考虑一维Ising模型，M个自旋排成一排，每个自旋与其左右两个最近邻的自旋之间有相互作用。简单起见，我们只考虑倾向于使近邻自旋的方向一致的相互作用。二维正方Ising模型就是由N个相同的自旋排，每个自旋不但与其左右两个最近邻的自旋相互作用，而且与前后相邻的自旋排中两个最近邻的自旋相互作用，工程了 一个二维的自旋阵列。三维立方Ising模型就是有L个相同的二维自旋阵列，每个自旋与其左右、前后、上下六个最近邻的自旋相互作用。不难发现，随着维度的增加，每个自旋的最近邻自旋树木增加，与周围自旋的相互作用也在增强。

但是，系统的演化并不完全由总能量决定。由于小磁针处于噪声环境中，热涨落又会引起小磁针的状态随机反转。我们可以用温度来衡量这种环境影响的随机性。T越高，则小磁针发生反转的概率就会越大。

这样，有两种力作用在小磁针上，一种力来源于小磁针邻居以及外场对它的影响，这种影响倾向于使得相邻的邻居彼此状态一致以及与外场尽量一致，即尽量使得系统的总能量达到最小。另外一种力则来源于环境噪声的扰动，它迫使小磁针无视邻居的作用而发生随机的状态反转。于是，每个小磁针就挣扎于这两种不同的力量之间。不难想象，假如温度T趋于0，则每个小磁针都会与外场相一致，那么，最终系统将处于全是+1或者全是-1的状态（取决于外场H是正还是负）。假如T特别高，而相互作用强度J特别小，则邻居间的作用可以忽略，每个小磁针都完全随机地取值。

这样，整个ISING模型就有两个外生给定的参数来表示环境的温度和磁场强度。在村民的比喻中,温度相当于村民进行观点选择的自由程度，温度越高，村民选择观点越随机，而不受自己周围邻居的影响；否则村民的选择严重依赖于邻居和媒体宣传。