Ising模型(伊辛模型)

Ising模型(伊辛模型)是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型,可用于描述很多物理现象,如:合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变,即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象,而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变,是一种连续相变(也叫二级相变)。Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成,每个磁针只有上下两个方向(自旋)。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用,同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变(上变为下或反之)。涨落的大小由关键的温度参数决定,温度越高,随机涨落干扰越强,小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变,从而让上下两个方向的磁性相互抵消,整个系统消失磁性,如果温度很低,则小磁针相对宁静,系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。

    科学家对该模型的广泛兴趣还源于它是描述相互作用的粒子(或者自旋)最简单的模型。Ising模型是一个非常简单的模型,在一维、二维、三维的每个格点上占据一个自旋。自旋是电子的一个内部性质,每个自旋在空间有两个量化方向,即其指向可以向上或者向下。尽管该模型是一个最简单的物理模型,目前仅有一维和二维的精确解。

考虑一维Ising模型,M个自旋排成一排,每个自旋与其左右两个最近邻的自旋之间有相互作用。简单起见,我们只考虑倾向于使近邻自旋的方向一致的相互作用。二维正方Ising模型就是由N个相同的自旋排,每个自旋不但与其左右两个最近邻的自旋相互作用,而且与前后相邻的自旋排中两个最近邻的自旋相互作用,工程了 一个二维的自旋阵列。三维立方Ising模型就是有L个相同的二维自旋阵列,每个自旋与其左右、前后、上下六个最近邻的自旋相互作用。不难发现,随着维度的增加,每个自旋的最近邻自旋树木增加,与周围自旋的相互作用也在增强。

Ising模型(伊辛模型)_第1张图片

Ising模型(伊辛模型)_第2张图片


但是,系统的演化并不完全由总能量决定。由于小磁针处于噪声环境中,热涨落又会引起小磁针的状态随机反转。我们可以用温度来衡量这种环境影响的随机性。T越高,则小磁针发生反转的概率就会越大。

这样,有两种力作用在小磁针上,一种力来源于小磁针邻居以及外场对它的影响,这种影响倾向于使得相邻的邻居彼此状态一致以及与外场尽量一致,即尽量使得系统的总能量达到最小。另外一种力则来源于环境噪声的扰动,它迫使小磁针无视邻居的作用而发生随机的状态反转。于是,每个小磁针就挣扎于这两种不同的力量之间。不难想象,假如温度T趋于0,则每个小磁针都会与外场相一致,那么,最终系统将处于全是+1或者全是-1的状态(取决于外场H是正还是负)。假如T特别高,而相互作用强度J特别小,则邻居间的作用可以忽略,每个小磁针都完全随机地取值。

这样,整个ISING模型就有两个外生给定的参数来表示环境的温度和磁场强度。在村民的比喻中,温度相当于村民进行观点选择的自由程度,温度越高,村民选择观点越随机,而不受自己周围邻居的影响;否则村民的选择严重依赖于邻居和媒体宣传。



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