宗教争斗中的无穷小

牛顿大神在数学、物理演算中，经常会用到“流数”（fluxions），也就是现在称之为的无穷小。比如，下面是牛顿计算  导数的过程，其中的  和  都是“流数”：

 

乔治·贝克莱（George Berkeley，1685－1753），也称为贝克莱主教，对这种做法进行了激烈的批评，说“流数”在运算中突然消失（指上面“忽略  ”这一步），就好像一个鬼魂：

 

这确实是蛮严重的、又切中要害的批评，在严肃的数学运算中，怎么能凭空让某个量消失呢？所以在微积分发展历史中，贝克莱主教的评论在很长的时间都是笼罩在上空的乌云，直到后来魏尔施特拉斯严格定义了什么是无穷小之后才消散。

关于贝克莱主教的疑问，我们已经另文解释过了，本文想讨论的是另外一个问题，为什么乔治·贝克莱，圣公会的主教，著名的英裔爱尔兰哲学家，在数学上的业务能力这么强？又为什么会对牛顿提出质疑？阿米尔·亚历山大在《无穷小》一书中回答了这个问题，简单来说就是，欧洲中世纪，宗教争斗无处不在，数学也是重要的必争之地。下面，我们来进行更详细的解释（文中涉及到很多历史，纰漏之处，望大家指正）。

1 改变世界面貌的一次宗教裁定

1632年，5位身穿黑袍的教士，聚集在位于台伯河左岸的罗马宫殿里，他们代表天主教会正在对意大利著名的数学家、物理学家、天文学家伽利略·伽利莱（Galileo Galilei，1564－1642）的某项研究进行裁决。这个研究是，讨论线段可不可以看作由无穷多个、长度为无穷小的点构成（具体的讨论请参看这里）：

 

最后他们作出决定，不赞成该项研究，禁止在教会内传播（下图是油画《伽利略在宗教裁判所》）：

 

这次裁决并非是孤立的事件，更多关于无穷小的裁决纷至沓来。最终，在整个天主教世界，尤其是大本营意大利，各种关于无穷小的学说，都被禁止研究、讨论，更不能向他们的年轻人传授（当时，天主教举办了很多学校，这些学校往往都是名校，所以在教育界的影响力也是很大的）。

作为希腊遗产继承者之一，意大利一直保持着杰出的数学传统，最终在黑暗中孕育出了文艺复兴运动，成为了人类文明的转折点，并且在这之后的一段时间，它的艺术和科学激励了整个欧洲（下图是油画《雅典学院》，象征著文艺复兴全盛期的精神）：

 

但是，天主教会对无穷小的否定，事实上完全停止了高等数学在意大利的发展。而更宽松的英国、法国继续在讨论、研究无穷小，其中重要的结果是，牛顿发明了微积分，并与万有引力一起在数学上描述了整个“世界体系”。可以说没有微积分，就没有现代社会。

正是从这个时候开始，曾经充满着活力和创造力的意大利，逐渐沦为了欧洲经济的边缘地带，开始落后于欧洲北部的主要竞争对手（当然，这么说有点过于夸大这一次裁决的意义，意大利还有别的问题，比如罗马教皇非常保守，禁止了所有异端学说；意大利本身也不是统一的国家，是由国王、公爵、大公以及教皇统治的许多小公国组成的混合体，内斗不断，诸如此类）。

2 古希腊的神与《几何原本》

天主教会为什么会关心“无穷小”？这需要从古希腊人对神的认知开始说起（下图是油画《雅典娜与胜利的宙斯》）：

 

2.1 神就是“第一因”

在希腊人的认知中，所有的事物发生都是有原因的，而神是一切终极的原因，或者称为“第一因”。比如，下雨是因为有云；云为什么会在空中，是因为风吹过来的；那为什么风要往这边吹，这是因为神的意志。再比如，亚里士多德提出的地心说，地球静止在宇宙的中心，太阳、月球、水星等围绕着地球在运动。为什么它们会一直旋转呢？当然是因为神的推动。为什么它们不会像皮球一样坠落到地球上呢？也是因为神居住在最高天，它们对神明充满向往，所以一直悬浮着：

2.2 《几何原本》

可能就是遵循上述思想，欧几里得创作了大名鼎鼎的《几何原本》：

书中提出了五大公理，这些公理（欧几里得以及当时的大部分人认为）都是一些很简单的事实，都是不证自明、毋庸置疑、显而易见：

（1）从一点向另一点可以引一条直线

（2）任意线段能无限延伸成一条直线

（3）给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆

（4）所有直角都相等

（5）若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交

然后通过逻辑推理，或者说通过演绎法，得到《几何原本》中的几百个定理。也就是说，这五大公理是整个几何学的终极原因，或者称为“第一因”。对于某些希腊学者而言，这不就是神在数学上的最好体现吗？或者说，这不是论证了神的存在吗？

3 天主教与《几何原本》

3.1 兴办教育

1517年，马丁·路德（Martin Luther，1483－1546）在德国维滕贝格的诸圣堂门前贴出了《九十五条论纲》，强烈质疑罗马教廷关于藉金钱换取上帝赦罪（即赎罪券）的行为，极大地挑战了天主教会的权威，最终促成了基督新教的兴起：

 

在这样的背景下，天主教会加大了传教的力度。除了传统的教堂之外，又开始兴办教育。由于天主教会深厚的底蕴，使得教会举办的学院有着大量的杰出老师，整个天主教的贵族和富有的平民都趋之若鹜。这些学校多数分布在欧洲，但远在日本长崎、秘鲁利马也有教会学校。这称得上是一个真正的世界范围内的教育体系，可谓空前绝后。下图是该庞大教育网络的中心，罗马大学：

 

教会学校培养出了一代又一代受过良好教育且虔诚的天主教徒，离开学校之后，这些学生大部分都会在社区教会中担任领导职务，进而影响更多的人。最终，兴办教育这一举措使得天主教会在与新教的斗争中，获取到了竞争优势。

3.2 世俗科学的裁决

为了吸引更多的世俗学生，除了神学之外，教会学校也提供很多实用的学科，其中就包括数学。教会学校的数学主要教授《几何原本》，这是因为克里斯托佛·克拉維斯（Christopher Klau/Clavius，1538－1612）说服了教会，使得教廷相信，几何学的永恒规则就是上帝的化身，而不容反驳的五大公理象征着上帝的权威。下图是克拉维斯的画像：

 

当时各种天文学、地理学的新理论在不断涌现，教会学校也要去甄别哪些理论可以进入校园（以及整个天主教世界），主要判断依据就是这些理论是否有害于“信仰”。比如，尼古拉·哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473－1543）的日心说最终被裁决为违背《圣经》，禁止（在校园内以及整个天主教世界）传播（下图是《哥白尼与他的日心说》，图中哥白尼右手边的板子上画的就是日心说的示意图）：

 

同样的，当时的“无穷小”学说与《几何原本》是冲突的（实际上欧几里得创作《几何原本》的时候，已经有“无穷小”的相关讨论了，因为其中存在种种不确定性，他刻意回避了“无穷小”），所以就出现了文章开头的一幕，整个“无穷小”学说都被令行禁止，以便维护上帝的权威（“无穷小”存在很多不确定性，教会更担心其中的讨论会带来创新、革命，最终又像新教崛起一样，损害教会的权威）。

4 英国与无穷小

和天主教会的大本营意大利不同，英国为了摆脱天主教会的控制，很早就拥抱了新教。虽然天主教仍然是国教，但新教也拥有合法的地位。在学术上也是一样的，约翰·沃利斯（John Wallis，1616－1703）作为创始人之一，成立了伦敦皇家学会，允许各种学术讨论，当然其中也包括“无穷小”的学说。下图是沃利斯的画像：

 

伦敦皇家学会成立至今，它的会员几乎囊括了所有的伟大科学家。艾萨克·牛顿爵士（Sir Isaac Newton，1643－1727）从1702年开始知道1727年去世为止一直担任皇家学会会长；开尔文男爵威廉·汤姆森（William Thomson, 1824－1907，热力学之父）曾于1890年到1895年担任学会会长；查尔斯·达尔文（Charles Robert Darwin，1809－1882，进化论）、阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein 1879－1955，相对论）、斯蒂芬·霍金（Stephen William Hawking，1942－2018）等都是该学会的会员。

对“无穷小”学说的保护，是英国学术自由的一个缩影，在其它因素的共同作用下，发展为了欧洲强国，最终开启了工业革命，成为一代世界霸主：

 

5 总结

本文虽然没有直接阐述贝克莱主教的相关历史，但从一个侧面我们能够理解他为什么数学能力这么强（教会学校有数学学习的传统），以及为什么要去质疑牛顿（因为他的理论与《几何原本》的相冲突，不严谨，充满不确定性）。

天主教需要一个完全可知的、确定无比的数学，但是正如作者阿米尔•亚历山大在《无穷小》结尾所说：“想要构造一个完全可知的、理性的数学世界的任何企图，不仅在政治上是危险的，而且在科学上也是一条死胡同。”

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