【洛谷】P4705 玩游戏-生成函数
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题解
t t t次价值的期望: 1 n m ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∑ ( a i + b j ) t \dfrac{1}{nm}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum(a_i+b_j)^t nm1i=1∑nj=1∑m∑(ai+bj)t
二项式定理展开一下：
t ! n m ∑ k = 0 t 1 k ! ∑ i = 1 n a i k 1 ( t − k ) ! ∑ j = 1 m b j t − k \dfrac{t!}{nm}\sum\limits_{k=0}^t\dfrac {1}{k!}\sum\limits_{i=1}^na_i^k\dfrac{1}{(t-k)!}\sum\limits_{j=1}^mb_j^{t-k} nmt!k=0∑tk!1i=1∑naik(t−k)!1j=1∑mbjt−k
所以需要构造的生成函数 F ( x ) , G ( x ) F(x),G(x) F(x),G(x)的第 i i i项系数分别为 ∑ j = 1 n a j i , ∑ j = 1 m b j i \sum\limits_{j=1}^na_j^i,\sum\limits_{j=1}^mb_j^i j=1∑naji,j=1∑mbji
单独考虑 a j a_j aj对 F F F的贡献： 1 + a i x + a i 2 x + . . . 1+a_ix+a_i^2x+... 1+aix+ai2x+...，生成函数为 1 1 − a j x \dfrac1{1-a_jx} 1−ajx1。
所以 F ( x ) = ∑ i = 1 n 1 1 − a i x F(x)=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac1{1-a_ix} F(x)=i=1∑n1−aix1
1 − a i x 1-a_ix 1−aix在分母不好看，积分转成 l n ln ln，得到 F ( x ) = ∑ i = 1 n ln ′ ( 1 − a i x ) F(x)=\sum\limits_{i=1}^n\ln'(1-a_ix) F(x)=i=1∑nln′(1−aix)
还是不好看。。。再把求导转到整个函数外面：
F ′ ( x ) = ( ln ( ∏ i = 1 n ( 1 − a i x ) ) ) ′ F'(x)=(\ln(\prod\limits_{i=1}^n(1-a_ix)))' F′(x)=(ln(i=1∏n(1−aix)))′
则 F = − x F ′ + n F=-xF'+n F=−xF′+n。
G G G同理，然后套多项式模板即可。
代码
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