将汉诺塔问题简单的可视化来形象的理解递归

在初学c语言时我们就是用汉诺塔问题来理解递归的，因为最近又看到了，然而我已经忘记当时是怎么操作的，所以利用最近学的图形学将其可视化加深理解。

汉诺塔问题：
相传在古印度圣庙中，有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏。该游戏是在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘(如下图)。游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。

分析：对于这样一个问题，任何人都不可能直接写出移动盘子的每一步，但我们可以利用下面的方法来解决。设移动盘子数为n，为了将这n个盘子从A杆移动到C杆，可以做以下三步：
(1)以B杆为中介，从A杆将1至n-1号盘移至B杆；
(2)将A杆中剩下的第n号盘移至C杆；
(3)以A杆为中介；从B杆将1至n-1号盘移至C杆。
这样问题解决了，但实际操作中，只有第二步可直接完成，而第一、三步又成为移动的新问题。以上操作的实质是把移动n个盘子的问题转化为移动n-1个盘，那一、三步如何解决？事实上，上述方法设盘子数为n, n可为任意数，该法同样适用于移动n-1个盘。因此，依据上法，可解决n -1个盘子从A杆移到B杆(第一步)或从B杆移到C杆(第三步)问题。现在，问题由移动n个盘子的操作转化为移动n-2个盘子的操作。依据该原理，层层递推，即可将原问题转化为解决移动n -2、n -3… … 3、2，直到移动1个盘的操作，而移动一个盘的操作是可以直接完成的。至此，我们的任务算作是真正完成了。而这种由繁化简，用简单的问题和已知的操作运算来解决复杂问题的方法，就是递归法。在计算机设计语言中，用递归法编写的程序就是递归程序。
上面这些是copy的百度百科，我是云里雾里，但是可视化之后就会豁然开朗，不过先按这个套路写出程序（也是我们初学时写的）是：

#include 
using namespace std;

void move(char x,char y)
{
	cout<<x<<" to "<<y<<endl;
} 
void hanoi(int n,char A,char B,char C)
{
	if(n==1){
		move(A,C);
	}else{
		hanoi(n-1,A,C,B);//以B杆为中介，从A杆将1至n-1号盘移至B杆；
		move(A,C);//将A杆中剩下的第n号盘移至C杆
		hanoi(n-1,B,A,C);//以A杆为中介；从B杆将1至n-1号盘移至C杆
	}
}
int main()
{
	int n;
	cout<<"Input number of plates:";
	cin>>n;
	hanoi(n,'A','B','C');
	return 0;
}

如果要移动四个盘子，就是：

这仅仅是四个盘子我跟着步骤移动盘子都乱了，更别说更多了，所以先做一些简单的可视化：我们输入盘子数后可以按回车进行下一步移动，直到最后一步：

如果你运行了下面的代码，一步步按回车去体会移动的过程，一定能清晰的理解前面分析的那三步是如何运作的。

代码：就是用二维数组储存每个位置输出空格还是*。

#include 
#include 
#include 
#include 
void move(char x,char y,int n, int **p);
void hanoi(int n,char one,char two,char three, int **p);
void changeshuzu(char x,char y,int n, int **p);
void changehigh(char x,char y); // 改变塔高
void print(int  **p); // 输出起始塔
void printstar(int **p); // 输出*
void gotoxy(int x,int y) ;  // 光标移动到(x,y)位置

static int higha,highb,highc,r,c; 
int main()
{
	int i;
	int **p;
	printf("input a number:");
	scanf("%d",&r);
	c=r*10;
    p = new int* [r]; // 动态分配二维数组
    p[0] = new int[r * c]; 
    for(i = 1; i < r; i++) // 动态分配二维数组
        p[i] = p[i-1] + c;
	higha=r;
	highb=0;
	highc=0;
	
	printf("the step to move %d diskes:\n\n",r);
	printstar(p);//初始化
	gotoxy(0,1);//把光标移动到第二行开头 
	getchar();
	hanoi(r,'A','B','C',p);
	return 0;
}

void hanoi(int n,char one,char two,char three,int **p)
{	
	if(n==1)
		move(one,three,n,p);
	else
	{
		hanoi(n-1,one,three,two,p);
		move(one,three,n,p);
		hanoi(n-1,two,one,three,p);
	}
}

void move(char x,char y,int n,int **p) // move x:被移柱子 y：得到盘的柱子 n：盘的大小
{	
	getchar();
	printf("  %c->%c\n",x,y);	
	changeshuzu(x,y,n,p); // 改变数组
	print(p);	
	changehigh(x,y); // 变高
	gotoxy(0,1);
}

void print(int **p)
{	
	int i,j;
	for(i=0;i<r;i++)
	{
		for(j=0;j<c;j++)
		{
			if(p[i][j]==1)
				printf("*");
			else printf(" ");
		}
		printf("\n");
	}
}
void changehigh(char x,char y)
{
	switch(x)
	{
	case 'A':higha--;break;
	case 'B':highb--;break;
	case 'C':highc--;break;
	}
	switch(y)
	{
	case 'A':higha++;break;
	case 'B':highb++;break;
	case 'C':highc++;break;
	}
}

void changeshuzu(char x,char y,int n,int **p)
{	
	int i,j;

	// 移去 m-high为要去掉的行数
	if(x=='A')
	{
		for(i=0;i<r;i++)
			for(j=0;j<c;j++)
			{
				if(i==r-higha&&j>=r-n&&j<=r+n-2)
					p[i][j]=0;
			}
	}
	else if(x=='B')
	{
		for(i=0;i<r;i++)
			for(j=0;j<c;j++)
			{
				if(i==r-highb&&j>=3*r-n&&j<=3*r+n-2)
					p[i][j]=0;
			}
	}
	else if(x=='C')
	{
		for(i=0;i<r;i++)
			for(j=0;j<c;j++)
			{
				if(i==r-highc&&j>=5*r-n&&j<=5*r+n-2)
					p[i][j]=0;
			}
	}
	
	// 添加 m-high-1为要去掉的行数
	if(y=='A')
	{
		for(i=0;i<r;i++)
			for(j=0;j<c;j++)
			{
				if(i==r-higha-1&&j>=r-n&&j<=r+n-2)
					p[i][j]=1;
			}
	}
	else if(y=='B')
	{
		for(i=0;i<r;i++)
			for(j=0;j<c;j++)
			{
				if(i==r-highb-1&&j>=3*r-n&&j<=3*r+n-2)
					p[i][j]=1;
			}
	}
	else if(y=='C')
	{
		for(i=0;i<r;i++)
			for(j=0;j<c;j++)
			{
				if(i==r-highc-1&&j>=5*r-n&&j<=5*r+n-2)
					p[i][j]=1;
			}
	}
}

void printstar(int **p)
{	
	int i,j;
	for(i=0;i<r;i++)
	{	
		for(j=0;j<c;j++)
		{
			if(j>=r-i-1&&j<=r+i-1)
				p[i][j]=1;
		}
	}
	for(i=0;i<r;i++)
	{
		for(j=0;j<c;j++)
		{
			if(p[i][j]==1)
				printf("*");
			else printf(" ");
		}
		printf("\n");
	}	
}

void gotoxy(int x,int y)    // 光标移动到(x,y)位置
{
    CONSOLE_SCREEN_BUFFER_INFO    csbiInfo;                            
    HANDLE    hConsoleOut;
    hConsoleOut = GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE);
    GetConsoleScreenBufferInfo(hConsoleOut,&csbiInfo);
    csbiInfo.dwCursorPosition.X = x;                                    
    csbiInfo.dwCursorPosition.Y = y;                                    
    SetConsoleCursorPosition(hConsoleOut,csbiInfo.dwCursorPosition);   
}

这和图形学没什么卵关系，但是后面我会再写一个可以用鼠标交互由用户自己拖动盘子的汉诺塔游戏。