堆数据结构：Dijkstra算法的提速

堆的最后一个也是最高级的应用是单源最短路径问题的Dijkstra算法（第3章）的近似线性时间的实现。这个应用非常生动地体现了算法设计与数据结构设计之间的互动。

4.4.1　为什么要使用堆

我们在命题3.1中看到了Dijkstra算法的简单实现需要O(mn)的运行时间，其中m表示边的数量，n表示顶点的数量。如果只是处理中等规模的图（有数以千计的顶点和边），那么这个速度已经足够，但对于巨型的图，还是有点力不从心。我们能不能做得更好？堆能够实现具有令人惊讶的高速度，也就是近似线性时间的Dijkstra算法。

定理4.4（Dijkstra算法（基于堆）的运行时间）　对于有向图G = (V,E)，起始顶点s并且所有边的长度均为非负值，Dijkstra算法基于堆的实现的运行时间是O((m+n)log n)，其中m=|E|，n=|V |。

虽然O((m+n)log n)不如线性时间的搜索算法那么快速，但仍然是表现非常出色的运行时间，可以与更为出色的排序算法相提并论，基本上可以被认定为是零代价的基本算法。

让我们回忆一下Dijkstra算法的工作方式（3.2节）。这个算法维护一个顶点子集X⊆V，其中的顶点是它已经计算过最短路径长度的。在每次迭代中，它识别穿越边界的边中具有最低Dijkstra得分的边。边(v,w)的Dijkstra得分是指（已经计算的）从起始顶点到v的最短路径长度len(v)加上这条边的长度

。换句话说，主循环的每次迭代对所有跨越边界的边进行一次最小值计算。Dijkstra算法的简单实现使用穷举搜索完成这个最小值计算。把最小值计算的速度从线性时间提升为对数时间是堆的存在理由，这时我们的大脑里就会产生这样的想法：Dijkstra算法需要用到堆！

4.4.2　计划

我们应该在堆里存储什么？它们的键应该是什么？我们首先想到的是可以把输入图中的边存储在堆中，然后将目标定为把简单实现中的最小值计算（针对边）替换为ExtractMin调用。

这种思路是可行的，但是一种更取巧和快速的实现是把顶点存储在堆中。这可能会让人觉得奇怪，因为Dijkstra得分是根据边而不是顶点来定义的。但换个思路，我们之所以关注Dijkstra得分，是因为它可以指示我们接下来处理哪个顶点。我们能不能通过堆走个捷径，直接计算这个顶点呢？

具体的计划是把尚未处理的顶点（Dijkstra伪码中的V−X）存储在一个堆中，同时维护下面提到的不变性。

不变性

顶点w∈V−X的键是一条尾顶点为v∈X且头顶点为w的边的最低Dijkstra得分（如果不存在这样的边，则是+∞）。

也就是说，我们需要下面的等式

（4.1）

对于每个w∈V−X在所有时候都是成立的，其中len(v)表示在算法的一次早期迭代中所计算的v的最短路径的长度（图4.2）。

图4.2　顶点w∈V−X的键被定义为头顶点为w且尾顶点在X中的边的最低Dijkstra得分

这是怎么回事呢？想象一下，我们正在使用两轮的淘汰赛确定具有最低Dijkstra得分的边(v,w)，其中v∈X，w∉X。第一轮是在每个顶点w∈V−X之间进行的本地锦标赛，参与者是边(v,w)，其中v∈X且w是边的头顶点。第一轮的胜者就是最低Dijkstra得分竞赛的参与者（如果存在）。第一轮的胜者（每个顶点w∈V−X最多有1个胜者）继续进行第二轮的比赛，最终的冠军就是第一轮胜者中具有最低Dijkstra得分的那个。这条冠军边与穷举搜索所确认的边是同一条。

顶点w∈V−X的键值（式（4.1））就是w的本地锦标赛中的最低Dijkstra得分，因此，我们的不变性有效地实现了所有的第一轮竞赛。提取具有最小键值的顶点，然后开展第二轮锦标赛，闪闪发光的奖杯的持有者正是下一个需要处理的顶点，也就是跨越边界的边中具有最低Dijkstra得分的那条边的头顶点。关键在于，只要我们维持这个不变性，就可以用一个堆操作实现Dijkstra算法的每次迭代。

它的伪码如下：[14]

Dijkstra（基于堆的算法，第1部分）

输入：邻接列表表示形式的有向图G=(V, E)，顶点s∈V，对于每个e∈E，其长

度e≥0。

完成状态：对于每个顶点v，len(v)的值等于真正的最短路径长度dist(s,v)。

// 初始化 1 X := 空集合, H := 空堆 2 key(s) := 0 3 for every v ≠ s do 4 key(v) := +∞ 5 for every v ∈ V do 6 把v插入到 H // 或使用Heapify // 主循环 7 while H 非空 do 8 w* := ExtractMin(H) 9 把w*加到X 10 len(w*) := key(w*) // 对堆进行更新以维持不变性 11 (待宣布)

但是，为了维持这个不变性，需要多大的工作量呢？

4.4.3　维持不变性

现在是付出“代价”的时候了。我们享受了这个不变性的成果，它把Dijkstra算法所需要的每个最小计算减少为一个堆操作。作为交换，我们必须解释怎样在不付出过多工作量的前提下维持这个不变性。

算法的每次迭代把一个顶点x从V−X移动到X，从而改变了它们之间的边界（图4.3）。从X的某个顶点出发到v的边现在完全处于X的内部，不再跨越边界。更成问题的是，从v到V−X的其他顶点的边不再完全处于V−X内部，而是从X跨越到V−X。为什么这会成为问题呢？因为我们的不变性式（4.1）表示，对于每个顶点w∈V−X，w的键等于一条终点在w的跨越边的最小Dijkstra得分。新的跨越边意味着出现了最小Dijkstra得分的新候选者，因此对于有些顶点w，式（4.1）的右边可能会变小。例如，当满足(v,w)∈E的顶点v第一次处于X的内部时，这个表达式就从+∞缩减为一个确定的数字了（即len(v)+

）。

图4.3　当一个新顶点v从V−X移动到X时，从v出发的边可能成为跨越边界的边

每次当我们从堆中提取一个顶点w*并把它从V−X移动到X时，可能需要减小仍然位于V−X中的一些顶点的键值，以反映新的跨越边。由于所有的新跨越边都是从w*出发的，因此我们只需要对以w*为起点的边进行迭代，检查边(w*, y)的顶点y∈V−X。对于每个这样的顶点y，在y的本地锦标赛中，第一轮胜者有两个候选：要么与此前相同，要么就是新的参赛选手(w*, y)。因此，y的新键值要么是它的旧值，要么是新的跨越边的Dijkstra得分len(w*)+

，以更小的那个为准。

我们怎样减小堆中一个对象的键值呢？一个容易的方法是首先使用4.2.2节所描述的Delete操作将它删除，接着更新它的值，然后使用Insert操作把它添加回堆中。[15]这样，我们就完成了基于堆的Dijkstra算法的实现。

Dijkstra（基于堆的算法，第2部分）

// 对堆进行更新以维持不变性 12 for 每条边(w* ,y) do 13 从H中删除y 14 key(y) := min{ key(y), len(w*)+} 15 把y插入到H

4.4.4　运行时间

Dijkstra基于堆的实现的算法所完成的几乎所有工作都是由堆操作组成的（可以进行验证）。每个堆操作需要O(log n)的时间，其中n表示顶点的数量。（堆中对象的数量绝不可能超过n−1个。）

这个算法所执行的堆操作有多少个？基于堆的算法第1部分的第6～8行每一行都有n −1个操作，除起始顶点s之外的每个顶点均需要1个堆操作。那么基于堆的算法第2部分的第13行和第15行呢？

小测验4.2

Dijkstra将执行第13行和第15行多少次？选择适用的最小边界。（与往常一样，n和m分别表示顶点的数量和边的数量。）

（a）O(n)

（b）O(m)

（c）O(n2)

（d）O(mn)

（正确答案和详细解释如下。）

正确答案：（b）。第13行和第15行看上去可能有点奇怪。在主循环的一次迭代中，这两行被执行的次数可能多达n −1次，w*的每条外向边各执行1次。一共有n −1次迭代，看上去堆操作的数量是平方级的。对于稠密图，情况确实如此。但是一般而言，我们可以做得更好。为什么？因为我们把这些堆操作的责任交给边而不是顶点。图中的每条边(v,w)在第12行最多出现1次，也就是当v第一次从堆中被提取并从V−X转移到X时。[16]因此，第13行和第15行对于每条边最多只执行1次，总共是2m个操作，其中m是边的数量。

小测验4.2显示了Dijkstra算法基于堆的实现使用了O(m+n)的堆操作，每个操作需要O(log n)的时间。总体运行时间是O((m+n)log n)，这是由定理4.4保证的。

本文摘自《算法详解（卷2）——图算法和数据结构》

本书涵盖的内容

本书介绍了下面3个主题的基础知识。

图的搜索和应用

图可用于对许多不同类型的网络，包括道路网、通信网络、社交网络，以及任务之间的依赖性网络进行建模。图可能非常复杂，但图存在一些运算速度非常快的基本算法。我们首先讨论对图进行搜索的线性算法，其应用范围极广，包括网络分析以及任务序列化等。

最短路径

在最短路径问题中，其目标是计算网络中从点A到点B的最佳路线。这个问题具有一些显而易见的应用，例如计算行车路线等。许多更为通用的规划问题的本质就是计算最短路径的问题。我们将对其中一种图搜索算法进行归纳，进而引出著名的Dijkstra最短路径算法。

数据结构

本书将帮助读者熟悉几种不同的数据结构，它们用于维护不断变化的具有键的对象集合。我们的基本目标是培养一种能力，也就是能够判断哪种数据结构比较适合自己的应用。选读的高级章节对如何从头实现这些数据结构提供了一些指导方针。

我们首先讨论堆，它可以快速识别它所存储对象中具有最小键值的对象，适用于排序、实现优先队列以及以线性时间实现Dijkstra算法。搜索树可以维护它所存储对象的整体键顺序，并支持更丰富的数组操作。散列表对超级快速的查找方式进行了优化，在现代程序中具有极其广泛的应用。我们还将讨论布隆过滤器，它是散列表的“近亲”。布隆过滤器的空间需求较散列表更低，但它偶尔会出现错误。

关于本书内容的更详细介绍，可以阅读每章的“本章要点”，它对每一章的内容，特别是那些重要的概念进行了总结。书中带星号的章节是难度较高的章节。时间较为紧张的读者在第一遍阅读时可以跳过这些章节，这并不会影响本书阅读的连续性。