ACM-矩阵专题
之前写过一篇矩阵的总结,但那时题目做得很少.点击打开链接
这次刷了个专题,写个总结 点击打开链接
水题:
A.典型的斐波那契递推构造
B.矩阵构造,就是按列递推
C.水题
G.水题
结合/技巧问题:
就是有的时候要计算C=A*B C^N.这时候可能A * B的范围很大,那么就算A*(B*A)^(N-1)*B即可
E结合
H S(N)=A+A^2+A^3+A^4+.....+A^N 两种方法,一种是二分即当N为偶数S(N)=(A+A^2+...+A^(N/2)(E+A^(N/2)),奇数S(N)=(A+A^2+...+A^(N/2)(E+A^(N/2))+A^N,
另一种是构造矩阵[S(N),An]
找规律:
1. 已知a+b,ab 求a^n+b^n. 设f(n)=a^n+b^n.
则f(n+1)=f(n)*(a+b)=a^(n+1)+b^(n+1)+ab(a^(n-1)+b^(n-1))
=(a+b)f(n)-abf(n-1)
2. L这个题的规律,打表找吧.
3.M 求 ceil((a+√b)^n)%m 的结果. 利用题目给定的b的范围发现可以写成ceil((a+√b)^n + (a-√b)^n)%m.等价于a^n+b^n 和1一样了
4.R F[0] = a F[1] = b F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 求Fn, 这个拆分下发现
f(n)是斐波那契数列的第n项 F(n) = a^f(n-1)*b^f(n)
然后由费马小定理
a^f(n-1) = a^(f(n-1)%1000000006) (mod 1000000007)
b^f(n) = b^(f(n)%1000000006) (mod 1000000007) 这2个直接快速幂就行了
f(n)%1000000006这个用矩阵快速幂可以求
5.(f[1]+f[2]+...+f[n])=f[n+2]-1
构造一个矩阵, 使得各行和各列的值不同.
矩阵的上三角全为"1"
矩阵的下三角全为"-1"
对角线"1","0"交替.
如n = 4,对应矩阵为:
1 1 1 1
1 1 0 -1
1 1 -1 -1
0 -1 -1 -1
矩阵模版:
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int MOD = 1000000007;
#define MaxSize 5
typedef long long type;
typedef long long LL;
LL n,k;
struct Mat{
type arr[MaxSize][MaxSize];
int r,l;
Mat(int r=0,int l=0){
this->r=r;
this->l=l;
memset(arr,0,sizeof(arr));
}
Mat operator * (const Mat &x){
Mat ret(r,x.l);
for(int i = 0;i0){
if(n&1)
ret = ret*basic;
basic = basic*basic;
n>>=1;
}return ret;
}
LL solve(LL nn){
LL ret;
if(nn==1)
return 1;
Mat e(2,2);
e.arr[0][0]=e.arr[0][1]=e.arr[1][0]=1;
e = pow_mat(nn/2,e);
ret = e.arr[0][0] * (LL)pow(nn/2,k) +1;
ret = ret * solve(nn/2)%MOD;
if(nn&1)
ret = ret*(pow_mat(nn,e).arr[0][0])%MOD;
return ret;
}
int main(){
int cas=1;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%I64d%d",&n,&MOD);
printf("Case %d: ",cas++);
Mat e(2,2);
e.arr[0][0]=e.arr[0][1]=e.arr[1][0]=1;
e = pow_mat(n,e);
int ans = (e.arr[0][0] + e.arr[1][0]-1+MOD)%MOD;
if(ans==0){
puts("No");
continue;
}puts("Yes");
for(int i = 0;i