LeetCode 5. Longest Palindromic Substring(C++ 动态规划)
5. Longest Palindromic Substring
题意为给定一个字符串s，找出字符串s中的最长回文子串并输出。回文是指字符串重左向右读和从右向左读是一样的。注意题目说明假设最长字符数长度为1000
Example 1:
Input: “babad”
Output: “bab”
Note: “aba” is also a valid answer.
Example 2:
Input: “cbbd”
Output: “bb”
思路1：（brute force 暴力求解 O(n^3)会超时 ）
对于字符串s，取其所有的子串，判断取出的该子串是否是回文串，并找出最长的回文子串输出即可。
取子串的具体做法是，设置子串的起始下标i，和结束下标j，用两重循环遍所有子串的判断取出的子串是否为回文串（取子串O(n^2)）。
对于判断回文串，可把字符串s逆序，然后判断逆序后的字符串和原来的字符串是否相等，相等即为回文串（这里逆序时间复杂度为O(n)），每次取子串都需要判断是否是回文串，所以总的时间复杂度为O(n^3)。
C++代码
//brute force
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
if(s=="")
return "";
int max = 0;
string result;
for(int i = 0; imax){
result = substr;
max = substr.length();
}
}
}
return result;
}
bool isPalindromic(string substring){//the time complexity of this function is O(n^3)
string copy = substring;
reverse(copy.begin(), copy.end());
return copy == substring;
}
};
看了提示说这题可以使用动态规划，但是还是没有什么头绪，找不到递推公式。
思路2：动态规划（O(n^2)）
设置一个二维数组dp，大小为s.length() x s.length()，数组dp[i][j]=1表示字符串s的子串si…sj(子串si到sj)为回文串，dp[i][j]=0表示该子串为非回文串。
动态规划的边界条件为：
dp[i][i]=1(长度为1的子串必为回文串)
dp[i][i+1]= (s[i]==s[i+1])(如果长度为2的子串两个字符相等则为回文子串)
状态转移方程：
dp[i][j] = (dp[i+1][j-1] && s[i]==s[j])，如果一个子串本身就为回文串，那么该子串左右两边加上一样的任意字符还是回文串
通过上述思路可以发现，该题是按子串的长度进行递推的，即先判断所有长度为1的子串是否为回文串，然后再判断所有长度为2的子串是否为回文串，然后依次判断长度为3,4,…的子串是否为回文串，这样可以知道对数组dp的递推是按主对角线（左上到右下的那条线）依次向上递推。
复杂度分析
时间复杂度O(n^2)：取子串依旧是O(n2)，判断是否为回文串为O(1)，所以总的时间复杂度为O(n2)
空间复杂度O(n^2)：维护状态数组dp，大小为s.length x s.length()
这题使用动态规划和平常不太一样，一般的题型我一般是从递归转换为动规，减少递归时过多的重复计算从而提高效率，但是这题对判断子串是否为回文串使用动规去判断，因为实际上判断回文串存在许多重复计算，小的子串的判断对后续更大的子串的判断有帮助（考虑在原有子串两边增加字符再判断O(1)），所以使用动规可以减小时间复杂度。如果不使用动规，每次傻傻的遍历一遍字符串判断是否是回文串，当s太长容易超时。
C++代码
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
if(s=="")
return "";
vector > dp(s.size(), vector(s.size(), 0));
int start = 0, end = 0, max = 0;
//initialize the basic case
for(int i = 0;imax){
start = i;
end = j;
max = j-i;
}
}
}
}
return s.substr(start, end+1-start);
}
};