线性代数学习笔记——第五章学习指南——特征值与特征向量

一、学习内容及要求
1. 内容：
5.1 特征值与特征向量的概念与计算

线性代数学习笔记——第五十六讲——特征值及特征向量的定义

线性代数学习笔记——第五十七讲——特征子空间

线性代数学习笔记——第五十八讲——特征值与特征向量的判定

线性代数学习笔记——第五十九讲——特征值与特征向量的计算

 线性代数学习笔记——第六十讲——特征多项式

线性代数学习笔记——第六十一讲——矩阵函数、逆矩阵、伴随矩阵的特征值与特征向量
§5.2 矩阵的相似对角化

线性代数学习笔记——第六十二讲——矩阵的相似对角化引例

线性代数学习笔记——第六十三讲——相似的定义与性质

线性代数学习笔记——第六十四讲——相似对角化的判定（1）

线性代数学习笔记——第六十五讲——相似对角化的判定（2）

线性代数学习笔记——第六十六讲——矩阵方幂的计算

§5.3 n维向量空间的正交性

线性代数学习笔记——第六十七讲——向量的内积

线性代数学习笔记——第六十八讲——柯西—施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式

线性代数学习笔记——第六十九讲——正交向量组与标准正交基

线性代数学习笔记——第七十讲——格拉姆—施密特（Gram-Schmidt）正交化方法

线性代数学习笔记——第七十一讲——正交矩阵

线性代数学习笔记——第七十二讲——共轭矩阵

§5.4实对称矩阵的相似对角化

线性代数学习笔记——第七十三讲——实对称矩阵的特征值与特征向量

线性代数学习笔记——第七十四讲——实对称矩阵的相似对角化

2. 要求：
（1） 理解矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，会求矩阵的特征值和特征向量；
（2） 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；
（3） 了解内积的概念与性质，会用施密特正交化方法将线性无关的向量组正交化；
（4） 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。
 

二、重点与难点
1. 重点：
（1）矩阵特征值、特征向量的概念与计算；
（2）实对称矩阵的相似对角化。
2. 难点：
(1) 对特征多项式展开式的理解；
(2) 向量组的施密特正交化；
(3) 利用特征值、特征向量以及矩阵的相似做相关证明。
 

三、与其他知识点的联系
(1) 矩阵的特征多项式是一个行列式, 特征值问题离不开行列式的计算与性质的应用；
(2) 特征值与行列式的关系给出了矩阵是否可逆的判定, 这在理论与计算上都有广泛的应用.
(3) 矩阵的特征向量是齐次线性方程组的非零解, 方程组理论与特征向量密切相关；
(4) 引入特征值、特征向量的目的是为了讨论矩阵的相似对角化. 它对矩阵性态的研究、二次型的化简、线性变换的讨论等方面都有密切的联系；
(5) 特征值问题在数值计算、优化理论、数理统计、微分动力系统以及工程技术的诸多领域中都有广泛的应用。