超全面的协方差矩阵介绍
阅读本文需要具备一定的线性代数基础，通过本文，你将对协方差矩阵有全面的理解。
定义
一组随机变量，共n个：
X = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) T \mathbf{X}=(X_1,X_2,...,X_n)^T X=(X1,X2,...,Xn)T
两个随机变量的协方差：
c o v [ X i , X j ] = E [ ( X i − E [ X i ] ) ( X j − E [ X j ] ) ] cov[X_i,X_j]=E[(X_i-E[X_i])(X_j-E[X_j])] cov[Xi,Xj]=E[(Xi−E[Xi])(Xj−E[Xj])]
由n*n个协方差组成的协方差矩阵
c o v [ X , X ] = [ c o v [ X 1 , X 1 ] c o v [ X 1 , X 2 ] ⋯ c o v [ X 1 , X n ] c o v [ X 2 , X 1 ] c o v [ X 2 , X 2 ] ⋯ c o v [ X 2 , X n ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c o v [ X n , X 1 ] c o v [ X n , X 2 ] ⋯ c o v [ X n , X n ] ] cov[\mathbf{X,X}]={\begin{bmatrix} cov[X_1,X_1]& cov[X_1,X_2] & \cdots & cov[X_1,X_n]\\ cov[X_2,X_1] & cov[X_2,X_2] & \cdots & cov[X_2,X_n]\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ cov[X_n,X_1] & cov[X_n,X_2] & \cdots & cov[X_n,X_n] \end{bmatrix}} cov[X,X]=⎣⎢⎢⎢⎡cov[X1,X1]cov[X2,X1]⋮cov[Xn,X1]cov[X1,X2]cov[X2,X2]⋮cov[Xn,X2]⋯⋯⋱⋯cov[X1,Xn]cov[X2,Xn]⋮cov[Xn,Xn]⎦⎥⎥⎥⎤
直观理解
- 协方差表示两个随机变量之间的线性相关性
- 协方差矩阵中的每个元素代表了两个随机变量之间的协方差
- 协方差矩阵表示一组随机变量之间的两两线性相关性
例子
图片和示例来源（点击进入图片来源）
有二维随机变量x和y，简便期间，我们对x和y做了去均值处理（ x ˉ = y ˉ = 0 \bar x=\bar y = 0 xˉ=yˉ=0），所以x和y之间的协方差： c o v [ x , y ] = E [ ( x − x ˉ ) ( y − y ˉ ) ] = E [ x ⋅ y ] cov[x,y] = E[(x-\bar x)(y-\bar y)]=E[x\cdot y] cov[x,y]=E[(x−xˉ)(y−yˉ)]=E[x⋅y]
如果x和y的联合分布多分布在一三象限， x ⋅ y x\cdot y x⋅y多为正数，则协方差为正，x和y正相关。
如果x和y的联合分布多分布在二四象限， x ⋅ y x\cdot y x⋅y多为负数，则协方差为负，x和y负相关。
如果x和y的几乎均匀地分散在所有象限中，则 x ⋅ y x\cdot y x⋅y有正有负，均值接近于0，说明x和y之间没有相关性（只是说没有线性相关）。
线性相关与非线性相关
若两个向量的协方差为0，则两个向量不具备线性相关性，但它们仍然可能不独立，因为可能存在非线性的相关性。
具体的，协方差为0但不独立的原因在于：随机向量x和随机向量y之间的关系没有一阶分量，只有二阶或高阶分量（关于一阶分量、二级分量等详见泰勒公式）。
举个例子（来自知乎匿名用户）：对于随机变量x和随机变量y，有 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1，其几何关系如下图：
性质
协方差矩阵是半正定矩阵
半正定矩阵的定义:
设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有 x T A x ≥ 0 x^TAx≥0 xTAx≥0，就称A为半正定矩阵。
半正定矩阵的性质：
- 半正定矩阵的行列式是非负的
- 半正定矩阵的特征值都是非负的
- …
延伸：
实对称矩阵一定是半正定矩阵
证明：协方差矩阵是半正定的
对任意向量y:
y T Σ y = y T E [ ( X − μ ) ( X − μ ) T ] y = E [ y T ( X − μ ) ( X − μ ) T y ] = E [ ( ( X − μ ) T y ) T ( ( x − μ ) T y ) ] = E [ ∣ ∣ ( X − μ ) T y ∣ ∣ 2 ] ≥ 0 y^T\Sigma y = y^TE[(X-\mu)(X-\mu)^T]y \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =E[y^T(X-\mu)(X-\mu)^Ty] \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =E[((X-\mu)^Ty)^T((x-\mu)^Ty)] \\ \ \ \ \ \ =E[||(X-\mu)^Ty||^2] \geq 0 yTΣy=yTE[(X−μ)(X−μ)T]y =E[yT(X−μ)(X−μ)Ty] =E[((X−μ)Ty)T((x−μ)Ty)] =E[∣∣(X−μ)Ty∣∣2]≥0
正定矩阵的定义：
A是n阶方阵，如果对任何非零向量x，都有 x T A x > 0 x^TAx>0 xTAx>0，其中 x T x^T xT 表示x的转置，就称A正定矩阵
正定矩阵的性质：
- 正定矩阵的行列式恒为正
- 正定矩阵的特征值均为正
- …
协方差矩阵是实对称矩阵
实对称矩阵的性质：
- 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量时正交的
- 实对称矩阵的特征值是实数，特征向量是实向量
- 实对称矩阵必可对角化，且其相似对角矩阵的对角线元素为n个特征值
实对称矩阵的对角化：
P − 1 A P = P − 1 P ∧ = ∧ P^{-1}AP = P^{-1}P \wedge=\wedge P−1AP=P−1P∧=∧其中对角矩阵 ∧ \wedge ∧的对角元素为矩阵A的n个特征值（n个特征值中可能重复的），P由矩阵A的特征向量组成。
与其他统计量的关系
与协方差的关系：
- 协方差矩阵的第i行第j列的元素是第i个随机向量和第j个随机向量之间的协方差
- 从协方差到协方差矩阵是从标量随机变量到高维随机向量的推广
与相关系数矩阵的关系：
相关系数矩阵为 c o r r ( X ) corr(\mathbf{X}) corr(X)
corr ( X ) = ( diag ( c o v ( X X ) ) ) − 1 2 c o v ( X X ) ( diag ( c o v ( X X ) ) ) − 1 2 {\displaystyle \operatorname {corr} (\mathbf {X} )={\big (}\operatorname {diag} (cov({\mathbf {X} \mathbf {X} })){\big )}^{-{\frac {1}{2}}}\,cov({\mathbf {X} \mathbf {X}) }\,{\big (}\operatorname {diag} (cov({\mathbf {X} \mathbf {X}) }){\big )}^{-{\frac {1}{2}}}} corr(X)=(diag(cov(XX)))−21cov(XX)(diag(cov(XX)))−21
延伸：PCA中对协方差矩阵的应用
详见《图文并茂的PCA教程》
Python实战
import numpy as np
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
y = np.array([9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1])
Sigma = np.cov(x, y)
print(Sigma)
'''输出：
[[ 7.5 -7.5]
[-7.5 7.5]]
'''