Mallat算法及C语言实现（一维DB小波分解与重构）

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一、Mallat原理分析

1.1矩阵变换角度看小波分解与重构：

DB4有4个系数：c0、c1、c2和c3。可以有以下变换矩阵，将它作用于一列数据矢量的左边。即（注意行列对齐，手打不易）

 

其中，空白处为0,。注意，此矩阵结构，第一行产生一个数据与滤波系数c0、c1、c2、c3卷积的分量，依次类推，第3行、第5行和其余奇数行的结果一样。如果偶数行以这种形式出现，正负交替，那么矩阵将是循环的，也就是一般的卷积，可以用FFT方法计算（注意，最后两行像具有周期边界条件下的卷积那样环绕起来）。但是，偶数行并不是以系数c0、c1、c2、c3进行卷积，而是以系数c3，-c2，c1，-c0进行卷积。整个矩阵的作用就是进行两个相关的卷积，然后各去掉一半数值，将剩下的各一半融合在一起。

将滤波器c0、c1、c2、c3看成是一个光滑滤波器，称它为H,H有点像4个点的移动平均。而将滤波器c3，-c2，c1，-c0称为G，由于G中滤波器带有负号，因此，G不能看成一个光滑滤波器。在信号处理的文献中，H和G被称为求积镜像滤波器。实际上，c值的选取是使G对光滑的数据矢量尽可能产生零响应。通过以上运算，导致H的输出在去掉以后，精确地代表了数据的“近似”信息。G的输出同样在去掉一半以后，代表了数据的“细节”信息。

为了能够恢复原始信息，必须能够从它的N/2个近似分量和N/2个细节分量重建长度为N的原始数据矢量。为了能够实现这样的算法，就必须要求矩阵式(1)为正交的，这样它的逆矩阵就