0014数位成本和为目标值的最大数字

数位成本和为目标值的最大数字

编号：0014

试题来源：leetcode

题目描述

给定整数数组cost和一个整数target。返回满足如下规则的可以得到的最大整数：

• 给当前结果添加一个数位i+1的成本为cost[i](cost数组的下标从0开始)
• 总成本必须恰好等于target
• 添加的位数中没有数字0

返回类型string

如果无法得到任何整数，那么返回0。

解答算法

算法思路

很显然这是一个0-1完全背包问题。

我用的是暴力做法，时间复杂度太高，失败了

参考代码

target是目标的花费，显然，cost数组中的每一个值都是正数，因为一旦存在0，那么可以无穷添加，就没有最大值了。所以$cost[i]\ge 1$。因此可以设置一个temp数组，其中元素是string类型，temp[i]存储当总花费为i的时候产生的最大string。

显然有如下递推公式

temp[target] = max{temp[target - cost[i]]+cost[i],cost[i] + temp[target - cost[i]]}，如果$target-cost[i]==0$说明这是第一个添加的元素。如果$target-cost[i]<0$说明，该target没有满足条件的string；如果temp[target - cost[i]]对应的string为空，说明它不存在，那么自然不能在一个不存在的字符串上加数位因此也不存在。

通过递推公式，一个个遍历temp[i]，最后就能够解决问题

代码实现

class Solution {
public:
    string largestNumber(vector<int>& cost, int target) {
        int len = cost.size();
        unordered_map<int, int> cost2num;  //key存放的是花费，对应得是下标
        for(int i = 0; i < len; i++) {   //更新花费map
            if(cost2num.find(cost[i]) == cost2num.end() || cost2num[cost[i]] < i + 1) {
                cost2num[cost[i]] = i + 1;
            }
        }   
        vector<string> temp(target + 1, "");  //vector数组得长度为target+1,初始值均为空字符串
        for(int i = 1; i <= target; i++) {  //从1开始，逐渐提升target的值
            for(const auto& [cost, num]: cost2num) {
                int index = i - cost;       //如果添加了当前数位，是在temp[i-cost]的基础上添加的
                if(index == 0 || index > 0 && temp[index] != "") { //如果index == 0说明当前添加的i是第一个数位;如果index>0，那么需要temp[i-cost]有合适的取值，才能添加新的数位
                    string second = to_string(num);
                    string new_str = temp[index] > second? temp[index] + second: second + temp[index];  //产生添加数位之后的string
                    if(new_str.size() > temp[i].size() || new_str.size() == temp[i].size() && new_str > temp[i]) {  //和当前temp[i]进行对比，谁大选谁
                        temp[i] = new_str;
                    }
                }
            }
        }
        return temp[target] == ""? "0": temp[target];  //非空返回string，否则返回0
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：整个过程中遍历了$O(target)$的时间，同时每一次都进行了比较操作以及对9个可以添加的数位的比较，最终的时间复杂度为$O(n)$
• 空间复杂度：申请了$O(target)$的额外空间，时间复杂度为$O(n)$