for循环三层嵌套 时间复杂度计算

假设有这样一个for循环

for(i=1;i<=n;i++)

   for(j=1;j<=i;j++)

      for(k=1;k<=j;k++)

            x++;

现在要求它的时间复杂度，看起来有点麻烦，但是只要我们把问题分解成若干个小问题一一解决，那么就容易多了。

 

首先，我们考虑这么一种情况，当i取值为a的时候，那么我们上面那个三层循环就变成了

   for(j=1;j<=a;j++)

      for(k=1;k<=j;k++)

            x++;

 

这样看来，是不是一目了然了。

 

a的取值为 （用点隔开）

 

相应的，我们可以把上面那个二层for循环改写为一层循环

      for(k=1;k<=[1 2 3 4 5 ......a-1 a];k++)

            x++;

那么，我们这个for循环运行的总的时间复杂度就是  

 

 

当然，这不是最终的时间复杂度，因为我们只是讨论了i取a的情况

 

所以，总的时间复杂度为 (i从1到n）

 

分成两项，分别是 和 

前一项求和的渐进时间复杂度是,后一项求和的渐进时间复杂度是

所以上面的那个三层循环的时间复杂度为