53. Maximum Subarray 寻找sum最大的子数组

Given an integer array nums, find the contiguous subarray (containing at least one number) which has the largest sum and return its sum.

例子：

Input: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
Output: 6
Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

难度：【easy】

思路：最开始能够最先想到的方法就是暴力的方法，将所有的subarray全部枚举出来，取和最大的就是结果。这种方法在不做任何优化的情况下，需要三层循环，最外层循环确定每次subarray的开始位置，中间层循环确定每次sub的结束位置，最内层循环从起始位置到结束位置进行遍历求和。时间复杂度O(n^3). 之后进一步可以想到将中间层和最内层循环合并为一层循环。因为这两层循环进行累加的开始位置相同，只是结束位置不同而已，每次多加一个元素就可以了。这样时间复杂度变成了O(n^2). 之后再想能不能优化到O(n).  下面有两种O(n)的方法：

方法1：一个变量存放最大值，一个变量存放当前的和。遍历数组，如果当前的sum小于等于0，就重新累加，因为前面累加和小于等于0对整个子字符串和不具有增加作用，所以可以直接去掉，反之，继续加。

如果当前的sum大于max就更新max。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        int max = INT_MIN;
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            if (sum <= 0) {
                sum = nums[i];
            } else {
                sum += nums[i];
            }
            
            if (sum > max) {
                max = sum;
            }
        }
        return max;
    }
};

方法2：dp的思路，对于每个元素都是要么加进去，要么重新开始。

    int maxSubArray(vector& nums) {
        vector dp(nums.size(), 0);
        dp[0] = nums[0];
        
        int max_sum = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            max_sum = max(max_sum, dp[i]);
        }
        return max_sum;
    }