2019中科大数学考研复试题（回忆版）

**2019中科大数学考研复试题（回忆版）**

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实变函数

1.平面上横坐标或纵坐标为有理数的点集测度为零。

2.$\{f_n\}$是一列可测函数，则

（a）若${\int }_A|f_n-f_{n-1}|dx\le \frac{1}{2^n}$，令$f=f_1+\sum _{n=1}^{+\infty }(f_n-f_{n-1})$，证明：$f$可积，且
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\int }_A|f_n-f_{n-1}|dx=0$$
（b）证明：$L^1(A)$是完备的。

3.$f(x)$是$[a,b]$上的可积函数，证明$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dx$在$[a,b]$上绝对连续。

复变函数

1.计算${\int }_{|z|=2}\frac{dz}{(z-3)(z^5-1)}$的值。

2.用Schwarz引理证明，若$f:B(0,1)\to B(0,1)$全纯，则

（a）$\forall z_1,z_2\in B(0,1)$，有
$$|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_2)}f(z_1)}|\le |\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_2}{z}_1}|$$
（b）$\forall z_1\in B(0,1)$
$$f^{{}^{\prime }}(z_1)\le \frac{1-{|f(z_1)|}^2}{1-{|z_1|}^2}$$
3.$f(z)$是$C$上的亚纯函数，求所有满足$|f(z)|=1,\forall |z|=1$的函数。

微分几何

1.求柱面上的测地线。（要有详细过程）

2.证明：曲面$S$为全脐点曲面$\iff$$S$为平面或者球面的一部分。

3.这题是整体微分几何部分的题目，没记住。

近世代数

1.举例一个6阶非交换群，并指出其所有正规子群。

2.$F_5[x]$上的两个多项式为$f(x)$和$g(x)$（我没记住它们具体表达式）

（1）求出其最大公因式$d(x)$

（2）求$c_1,c_2\in F_5[x]$，使得$c_1(x)f(x)+c_{2}g(x)=d(x)$

3.证明$Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})/Q$的次数为4次，在$Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})/Q$上定义线性映射$\rho$，$\forall x\in Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})/Q$，$\rho (x)=(\sqrt{2}+\sqrt{3})x$，${\lambda }_1，{\lambda }_2，{\lambda }_3，{\lambda }_4$是此映射的特征值，求${\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+{\lambda }_3^2+{\lambda }_4^2$。