数据结构与算法 第二章 算法

第二章 算法

这一章主要还是概念，以下内容来自《大话数据结构》，欢迎大家交流讨论。

2.4算法定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

2.5算法的特性

算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

2.5.1输入输出

算法具有零个或多个输入。算法至少有一个或多个输出。

2.5.2有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

2.5.3确定性

确定性：算法的每一条步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

2.5.4可行性

可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

2.6算法设计的要求

好的算法应具有正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量的特征。

2.6.1正确性

正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

算法的“正确”大体分为以下四个层次：

1. 算法程序没有语法错误
2. 算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
3. 算法程序对于非法的输入数据能够得到满足规格说明的结果。
4. 算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。

一般情况下，我们把层次3作为一个算法是否正确的标准。

2.6.2可读性

可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

2.6.3健壮性

健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。怎么感觉和正确性的定义有些重合呢

2.6.4时间效率高和存储量低

时间效率指的是算法的执行时间。
存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。

2.7算法效率的度量方法

2.7.1事后统计方法

事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
但此方法不科学、不准确。

2.7.2事前分析估算方法

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

一个用高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：

1. 算法采用的策略、方法。
2. 编译产生的代码质量。
3. 问题的输入规模。
4. 机器执行指令的速度。

一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。问题的输入规模是指输入量的多少。
在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤

2.8函数的渐进增长

函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。
判断一个算法的效率时，函数中的常数项和其他次要项常常可以忽略，更应该关注主项（最高阶项）的阶数

2.9算法时间复杂度

2.9.1算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

2.9.2推导大O阶方法

推导大O阶：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

2.9.3常数阶

int sum=0,n=100;    /*执行一次*/
sum=(1+n)*n/2;      /*执行一次*/
printf("%d",sum);   /*执行一次*/

执行次数与n的大小无关，时间复杂度为O(1)。

2.9.4线性阶

分析算法的复杂度，关键是分析循环结构的运行情况

int i;
for(i=0;i<n;i++)
{
    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}

此循环的时间复杂度为O(n)。

2.9.5对数阶

int count=1;
whilie(count<n)
{
    count=count*2;
    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}

此循环的时间复杂度为O(logn)。

2.9.6平方阶

int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
    for(j=0;j<n;j++)
    {
        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
    }
}

时间复杂度为O($n^2$)

2.10常见的时间复杂度

常见时间复杂度表

执行次数函数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
$3n^2+2n+1$	$O(n^2)$	平方阶
$5lo{g}_{2}n+20$	$O(logn)$	对数阶
$2n+3nlo{g}_{2}n+19$	$O(nlogn)$	nlogn阶
$6n^3+2n^2+3n+4$	$O(n^3)$	立方阶
$2^n$	$O(2^n)$	指数阶

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

$O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlo{g}_n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$

2.11最坏情况与平均情况

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这就是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度

2.12算法空间复杂度

算法的空间复杂度是通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

要注意的是，当不用限定词地使用“复杂度”时，通常都是指时间复杂度。