【机器学习】最优化方法：梯度下降法

1. 概念

梯度下降法（Gradient Descent）又称最速下降法（Steepest descent）是一种常用的一阶优化方法，是一种用于求解无约束最优化问题的最常用的方法。它选取适当的初始值，并不断向负梯度方向迭代更新，实现目标函数的极小化，直到收敛。

2. 梯度下降的直观解释

以下山法作为类别，我们想要从山的某个位置下山，但我们并不知道山脚的位置，只能走一步算一步。从当前位置出发，往当前位置的负梯度方向走一步，即往最陡峭的方向往下走一步。然后继续求解当前位置的梯度，往负梯度方向走一步。不停走下去，一直走到我们认为已经到了山脚的位置。当然，也有可能，我们没办法到山脚，而是到了一个小山丘底部。

当目标函数是凸函数的时候，梯度下降法可以确保找到全局最优解；否则不一定能找到全局最优解，可能会陷入局部最优解。

3. 梯度下降法的原理

考虑最优化问题，其中具有一阶连续偏导数。若第次迭代值为，对在处进行一阶泰勒展开：

                                                 （1）

凸函数的某一小段由上图黑色曲线表示，可以利用线性近似的思想求出的值，如上图红色直线。该直线的斜率等于在处的导数。则根据直线方程，很容易得到的近似表达式为：

               

这就是一阶泰勒展开式的推导过程，主要利用的数学思想就是曲线函数的线性拟合近似。

其中，是微小矢量，大小是步长，类比于下山过程中的一步。是标量，的单位向量用表示，则可以表示为：

                                                                 （2）

此时，（1）可以化为：

                                                        （3）

我们希望每次迭代，都能使变小，也就是说希望有：

                                                        （4）

由于是标量，且一般设定为正值，因此可以忽略。由于和都是向量，根据向量的乘积公式可以将（4）转换为：

                                               （5）

当和反向时，，可以使得最小，且为负。即的方向是使局部的目标函数下降最快的方向。得到为：

                                                                （6）

以上解释了为什么局部下降最快的方向就是梯度的负方向。

将（6）中的最优解代入（2）中，得到的更新表达式为：

                                                       （7）

由于是标量，可以吸收入里面，梯度下降算法的更新表达式就变成了：

                                                       （8）

以上就是梯度下降算法公式的数学推导过程。

4. 算法描述

输入：目标函数、梯度函数，计算精度。

输出：的极小点。

（1）初始化相关参数。取初始值，置迭代次数.

（2）计算当前位置的目标函数。

（3）计算当前位置的目标函数的梯度。如果，则迭代结束，。否则，继续往下走。

（4）更新。，如果或者，则停止迭代，令。否则，将迭代次数置为，转到（3）继续迭代。

在机器学习中，目标函数实际上就是代价函数。

5. 梯度下降法种类

5.1 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，BGD）

批量梯度下降法是梯度下降法最常用的形式。每次更新参数要使用所有的样本进行计算。

假设目标函数为：

                                             

求偏导得：

                                             

批量梯度下降法的更新公式为：

                                             

5.2 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）

随机梯度下降法与批量梯度下降法类似。每次更新参数只使用随机的一个样本进行计算。

随机梯度下降法的更新公式为：

                                             

批量梯度下降法和随机梯度下降法的区别是什么？

（1）批量梯度下降法每次使用所有数据来更新参数，训练速度慢；

（2）随机梯度下降法每次只使用一个数据来更新参数，训练速度快；但迭代方向变化大，不一定每次都朝着收敛的方向，不能很快地收敛到局部最优解。

5.3 小批量梯度下降法（Mini-Batch Gradient Descent，MBGD）

小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的一个折中。每次更新参数选择一小部分数据计算。

选择个数据，。

小批量梯度下降法的更新公式为：

                                             

6. 局部最优解解决方法

如第二节（梯度下降的直观解释）中描述的，如果目标函数具有多个局部极小值，不能保证找到的解是全局最优解。为了解决这一问题，常采用以下策略来试图跳出局部最优：

1. 以多组不同参数值进行初始化，这样有可能陷入不同的局部极小，从中进行选择有可能获得更接近全局最小的结果；

2. 使用“模拟退火”技术，在每一步都以一定概率接收比当前解更差的结果，有助于跳出局部极小；

3. 使用随机梯度下降，最小化每个样本的损失函数，而不是最小化整体的损失函数，虽然不是每次迭代得到的损失函数都朝着收敛的方向， 但是整体的方向是朝着全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近。

参考文献：

1.《 统计学习方法》附录A梯度下降法——李航 

2. 为什么局部下降最快的方向就是梯度的负方向？

3. 梯度下降（Gradient Descent）小结