Scipy一维二维插值

一维插值

        插值不同于拟合。插值函数经过样本点，拟合函数一般基于最小二乘法尽量靠近所有样本点穿过。常见插值方法有拉格朗日插值法、分段插值法、样条插值法。

        拉格朗日插值多项式：当节点数n较大时，拉格朗日插值多项式的次数较高，可能出现不一致的收敛情况，而且计算复杂。随着样点增加，高次插值会带来误差的震动现象称为龙格现象。

       分段插值：虽然收敛，但光滑性较差。

       样条插值:样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。

 #!/usr/bin/env python
 # -*-coding:utf-8 -*-
 import numpy as np
 from scipy import interpolate
 import pylab as pl

 x=np.linspace(0,10,11)
 #x=[  0.   1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.  10.]
 y=np.sin(x)
 xnew=np.linspace(0,10,101)
 pl.plot(x,y,"ro")

 for kind in ["nearest","zero","slinear","quadratic","cubic"]:#插值方式
     #"nearest","zero"为阶梯插值
     #slinear 线性插值
     #"quadratic","cubic" 为2阶、3阶B样条曲线插值
     f=interpolate.interp1d(x,y,kind=kind)
     # ‘slinear’, ‘quadratic’ and ‘cubic’ refer to a spline interpolation of first, second or third order)
     ynew=f(xnew)
     pl.plot(xnew,ynew,label=str(kind))
 pl.legend(loc="lower right")
 pl.show()

结果:

二维插值

方法与一维数据插值类似，为二维样条插值。

 # -*- coding: utf-8 -*-
 """
 演示二维插值。
 """
 import numpy as np
 from scipy import interpolate
 import pylab as pl
 import matplotlib as mpl

 def func(x, y):
     return (x+y)*np.exp(-5.0*(x**2 + y**2))

 # X-Y轴分为15*15的网格
 y,x= np.mgrid[-1:1:15j, -1:1:15j]

 fvals = func(x,y) # 计算每个网格点上的函数值  15*15的值
 print len(fvals[0])

 #三次样条二维插值
 newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')

 # 计算100*100的网格上的插值
 xnew = np.linspace(-1,1,100)#x
 ynew = np.linspace(-1,1,100)#y
 fnew = newfunc(xnew, ynew)#仅仅是y值   100*100的值

 # 绘图
 # 为了更明显地比较插值前后的区别，使用关键字参数interpolation='nearest'
 # 关闭imshow()内置的插值运算。
 pl.subplot(121)
 im1=pl.imshow(fvals, extent=[-1,1,-1,1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")#pl.cm.jet
 #extent=[-1,1,-1,1]为x,y范围  favals为
 pl.colorbar(im1)

 pl.subplot(122)
 im2=pl.imshow(fnew, extent=[-1,1,-1,1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")
 pl.colorbar(im2)

 pl.show()

左图为原始数据，右图为二维插值结果图。

二维插值的三维展示方法

 # -*- coding: utf-8 -*-
 """
 演示二维插值。
 """
 # -*- coding: utf-8 -*-
 import numpy as np
 from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
 import matplotlib as mpl
 from scipy import interpolate
 import matplotlib.cm as cm
 import matplotlib.pyplot as plt

 def func(x, y):
     return (x+y)*np.exp(-5.0*(x**2 + y**2))

 # X-Y轴分为20*20的网格
 x = np.linspace(-1, 1, 20)
 y = np.linspace(-1,1,20)
 x, y = np.meshgrid(x, y)#20*20的网格数据

 fvals = func(x,y) # 计算每个网格点上的函数值  15*15的值

 fig = plt.figure(figsize=(9, 6))
 #Draw sub-graph1
 ax=plt.subplot(1, 2, 1,projection = '3d')
 surf = ax.plot_surface(x, y, fvals, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.5, antialiased=True)
 ax.set_xlabel('x')
 ax.set_ylabel('y')
 ax.set_zlabel('f(x, y)')
 plt.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)#标注

 #二维插值
 newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')#newfunc为一个函数

 # 计算100*100的网格上的插值
 xnew = np.linspace(-1,1,100)#x
 ynew = np.linspace(-1,1,100)#y
 fnew = newfunc(xnew, ynew)#仅仅是y值   100*100的值  np.shape(fnew) is 100*100
 xnew, ynew = np.meshgrid(xnew, ynew)
 ax2=plt.subplot(1, 2, 2,projection = '3d')
 surf2 = ax2.plot_surface(xnew, ynew, fnew, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.5, antialiased=True)
 ax2.set_xlabel('xnew')
 ax2.set_ylabel('ynew')
 ax2.set_zlabel('fnew(x, y)')
 plt.colorbar(surf2, shrink=0.5, aspect=5)#标注

 plt.show()

        左图的二维数据集的函数值由于样本较少，会显得粗糙。而右图对二维样本数据进行三次样条插值，拟合得到更多数据点的样本值，绘图后图像明显光滑多了。

参考链接:

1.拉格朗日插值法:https://zh.wikipedia.org/wiki/拉格朗日插值法

2.样条插值：https://zh.wikipedia.org/wiki/样条插值