随机信号的分析
一、随机信号概述及基本概念
描述随机信号必须采用概率统计的方法
1. 样本函数：随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察，记作\(x_i(t)\)。
2. 样本记录：在有限区间上的样本函数
3. 随机过程：同一试验条件下的全部样本函数的集（总体），记为\({x(t)}\)
\({x(t)} = {x_1(t), x_2(t), \cdots, x_i(t), \cdots}\)
随机过程可以根据t的离散或连续分为离散随机过程和连续随机过程。
二、随机过程的统计规律
对随机过程常用的统计特征参数：
均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功率谱密度函数等
1. 均值：\(\mu_x(t_1) = lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}x_i(t_1)\)
2. 方差：\(\psi_x^2(t_1) = lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}x_i^2(t_1)\)
这些特征参数均是按照集平均来计算的，即并不是沿某个样本函数的时间轴进行，而是集中在某个时刻\(t_i\)对所有的样本函数的观测值取平均。
为了与集平均相区分，将按照单个样本的时间历程所进行的平均称为时间平均。
三、随机过程的分类
1. 平稳随机过程
过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者说不随时间原点的选取而变化的过程。
（1）严平稳：所有描述随机过程的矩函数均同统计起点无关
（2）宽平稳：只有一阶矩和二阶矩同统计起点无关。
平稳随机过程的均值函数、方程函数、均方值函数均与t无关，为常数。
自协方差函数、自相关函数只与延迟步数k有关。
2. 正态随机过程
随机过程的各阶矩函数只取决于一阶与二阶矩函数
此时，正态随机过程的统计特征只取决于一阶与二阶矩函数
显然，若随机过程既是正态的有时平稳的，则此平稳一定是严平稳的。
3. 各态历经过程
对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集平均统计特征，则该过程是各态历经过程。
也就是说，在任意时间轴位置上各样本的取值情况一定和一个样本沿着时间轴的取值情况相同。
4. 白噪声
（1）特殊的平稳过程
（2）均值为0
（3）白噪声这一过程的前后彼此无关
四、随机信号的统计特性
1. 幅值域描述
均值、均方值、方差、概率密度函数等
（1）均值
\(\mu_x = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)dt\)
（2）方差
\(\psi_x^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}x^(t)dt\)
（3）均方值
\(\sigma_x^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}[x(t) - \mu_x]^2dt\)
2. 概率密度函数与概率分布函数
（1）概率密度函数
概率密度函数时指一个随机信号的瞬时值落在指定区间\((x, x + \Delta x)\)内的概率对\(\Delta x\)比值的极限值。
概率密度函数p(x)的定义为
\(p(x) = lim_{\Delta x \rightarrow 0 \frac{P[x < x(t) \leq x + \Delta x]}{\Delta x}}\)
\(p(x) = lim_{\Delta x \rightarrow 0, T \rightarrow \infty} \frac{T_x/T}{\Delta x}\)
（2）概率分布函数
概率分布函数P(x)表示随机信号的瞬时值低于某一给定值x的概率，即
\(P(x) = P[x(t) \leq x] = lim \frac{T_x}{T}\)
式中\(T_x\)为x(t)值小于或等于x的总时间
（3）概率密度函数与概率分布函数间的关系
\(p(x) = \frac{dP(x)}{dx}\)
\(P(x) = \int_{-\infty}^{\infty}p(x)dx\)
（4）概率密度函数的应用
3. 时间域描述
自相关函数、互相关函数
4. 频率域描述
自功率谱密度函数，互功率谱密度函数
五、相关分析
（一）相关
1. 相关基本概念
相关：用来描述一个随机过程自身在不同时刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻状态间线性依从关系的数字特征。
对于确定性信号来说，两变量之间的关系可以用确定的函数来描述；但两个随机变量间却不具有这种确定的关系。然而，他们之间却可能存在某种统计上的物理关系
2. 评价变量x和y之间线性相关程度的基本方法
（1）协方差\(\delta_{xy}\)
\(\delta_{xy} = E[(x - \mu_x)(y - \mu_y)] = lim_{N \rightarrow \infty}\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}(x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)\)
（2）相关函数\(\rho_{xy}\)
\(\rho_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}, -1 \leq \rho_{xy} \leq 1\)
式中\(\sigma_x, \sigma_y\)分别表示x和y的标准偏差，而x和y的方差\(\sigma_x^2, \sigma_y^2\)则分别为
\(\sigma_x^2 = E[(x - \mu_x)^2]\)
\(\sigma_y^2 = E[(x - \mu_y)^2]\)
3. 信号的时域相关分析
设有信号x(t)和y(t)
这时可以引入一个与时间\(\tau\)有关的量，称为函数的相关系数，简称相关函数，并有：
\(\rho_{xy}(\tau) = \frac{\int_{-\infty}^{\infty}x(t)y(t - \tau)dt}{[\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t)dt\int_{-\infty}^{\infty}y^(t)dt]^{1/2}}\)
相关函数反映了两个信号在时移中的相关性。
（二）互相关函数与自相关函数
1. 基本概念
对于各态历经过程，可以定义时间变量x(t)和y(t)的互协方差函数为
\(C_{xy}(\tau) = R_{xy}(\tau) - \mu_x\mu_y\)
式中\(R_{xy}(\tau) = lim_{T\rightarrow\infty}\int_{0}^{T}x(t)y(t+\tau)dt\)
称x(t)与y(t)的互相关函数，自变量\(\tau\)称为时移。
当y(t) = x(t)时，得自协方差函数
\(C_{x}(\tau) = R_x(\tau) - \mu_x^2\)
其中\(R_x(\tau) = lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)x(t +\tau)dt\)称为x(t)的自相关函数。
2. 实例
周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两者的频率相同，但丢掉了相位角信息，同频相关，不同频不相关。
正弦函数的自相关函数时一个与原函数具有相同频率的余弦函数，它保留了原信号的幅值和频率信息，但失去了原信号的相位信息。
自相关函数可以用来检测淹没在随机信号中的周期分量。
3. 相关函数的性质
相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。
（1）自相关函数时\(\tau\)的偶函数，互相关函数不是自变量的偶函数，也不是奇函数。
（2）当\(\tau = 0\)时，自相关函数具有最大值。此时功率信号的平均功率 = 自相关函数
（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。比如正弦信号\(x(t) = Xsin(\omega t + \phi)\)的自相关函数\(R_x(\tau) = (X^cos\omega \tau)/2\)
（4）随机噪声信号的自相关函数将随\(\tau\)的增大快速衰减。可以用这个性质检测淹没在随机信号中的周期分量。
（5）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留了原信号的相位信息。
正弦信号\(Xsin(\omega t, Ysin(\omega t - \phi))\)的互相关函数
\(R_{xy}(\tau) = XYcos(\omega \tau - \phi)/2\)
（6）两个非同频率的周期信号互不相关
4. 相关函数的估计
（1）根据相关函数的定义，它应该在无限长的时间内进行运算，但在实际应用中，任何观察时间均是有限的，通常以有限时间的观察值，亦即有限长的样本来估计相关函数的真值。
（2）自相关和互相关的估计为
\(\hat R_x(\tau) = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)x(t +\tau)dt\)
\(\hat R_{xy}(\tau) = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)y(t+\tau)dt\)
（三）相关函数的工程意义及应用
1. 自相关函数可以用于不同类别信号的辨识
（1）窄带随机信号：它的自相关函数具有较慢的衰减特性；
（2）宽带随机信号：自相关函数较快衰减到0
（3）具有无限带宽的脉冲函数：自相关函数具有最快的衰减，因此也是一个脉冲函数
（4）正弦信号：自相关函数时一个周期函数，永不衰减
（5）周期信号与随机信号叠加：自相关函数分为两部分，一部分为不衰减的周期信号，另一部分为随机信号所确定的衰减
2. 利用信号的自相关函数特征
利用信号的自相关函数特征来区分其类别这一点在工程应用中有着重要的意义。
例如，利用某一零件被切削加工表面的粗糙度波形的自相关函数可以识别导致这种粗糙度的原因中是否有某种周期性的因素，从中可以查出产生这种周期因素的振动源所在。
又如在你分析汽车中车座位置上的振动信号是，利用自相关分析来检测该信号中是否含有某种周期性称为对如由发动机工作所产生的周期振动信号，从而可以进一步改进座位的结构设计来消除这种周期性影响，达到改善舒适度的目的。
3. 相关测速测距
\(2S = v\tau\)
六、功率谱分析
相关函数用于描述时域中的随机信号，如果对相关函数应用傅里叶变换，则可得到一种相应频域中描述随机信号的方法，这种傅里叶变换称为功率谱密度函数。
（一）自功率谱密度函数
设x(t)为一零均值的随机过程，且x(t)中午周期分量，则其自相关函数\(R_x(\tau)\)在\(\tau \rightarrow \infty\)时有\(R_x(\tau \rightarrow \infty) = 0\)。该自相关函数满足傅里叶变换的条件\(\int_{-\infty}^{\infty}|R_x(\tau)|d\tau < \infty\)
对其作傅里叶变换可得
\(S_x(f) = \int_{-\infty}^{\infty}R_x(\tau)e^{j2\pi f ]tau}d\tau\)
其逆变换为\(R_x(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}S_x(f)e^{j2\pi ft}df\)
这两个式子称为维纳—辛钦公式。表明功率谱与自相关函数之间是Fourier变换对的关系。
\(R_x(\tau) = lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)x(t + \tau)dt\)
\(R_x(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}S_x(f)e^{j2\pi f\tau}df\)
1. 当\(\tau = 0\)时，根据自相关函数R_x(\tau)和自功率谱密度函数\(S_x(f)\)的定义，可得
\(R_x(0) = lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}{\frac{T}{2}} = \int_{-\infty}{\infty}S_x(f)df\)
2. \(S_x(f)\)曲线下面和频率轴所包围的面积即为信号的平均功率
3. \(S_x(f)\)就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布，故也称为功率谱
（二）Parserval 定理
设有变换对：
\(x(t) \leftrightarrow X(f)\)
\(h(t) \leftrightarrow H(f)\)
按频域卷积定理有
\(x(t)h(t) \leftrightarrow X(f) * H(f)\)
\(\int_{-\infty}^{\infty}x^(t)dt = \int_{-\infty}^{\infty}|X(f)|^2df\)
也就是说，信号在时域中计算的总能量等于它在频域中计算的总能量。
1. \(|X(f)|^2\)称能量谱，是沿频率轴的能量分布密度。
2. 在整个时间轴上信号的平均功率可计算为
\(P = \int_{-\infty}^{\infty}lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{T}|X(f)|^2df\)
该式说明，S(f)曲线下面和频率轴所包围的面积即为信号的平均功率
3. 自谱密度函数与幅值谱之间的关系为
\(S_x(f) = lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T}|X(f)|^2\)
利用此式可以直接作fourier变换来计算功率谱，而不必求自相关函数。
4. 随机过程中频域分布
根据信号功率（或能量）在频域中的分布情况，将随机过程区分为窄带随机、宽带随机和白噪声等几种类型
（1）窄带过程的功率谱（或能量）集中于某一中心频率附近。
（2）宽带过程的能量则分布在较宽的频率上
（3）白噪声过程的能量在所分析的频域内呈均与分布状态。
（三）互功率谱密度
1. 定义
互相关函数：\(R_{xy}(\tau) = lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)y(t + \tau)dt\)
互功率谱密度：\(S_{xy}(f) = \int_{-\infty}^{\infty}R_{xy}(\tau)e^{-2\pi ft}d\tau\)
维纳—辛钦关系：\(R_{xy}(\tau) \leftrightarrow S_{xy}(f)\)
\(R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}S_{xy}(f)e^{j2\pi ft}df\)
2. 互谱函数的性质
（1）与幅值谱的关系
\(S_{xy}(f) = lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{T}Y(f)\cdot X^*(f)\)
（2）对称性
\(S_{xy}(-f) = S_{yx}(f)\)
（四）自谱与互谱估计
周期图法：分段平均
估计好坏的三个标准
1. 无偏性：\(E(\hat \theta) = \theta\)，也就是说估计的期望与真值相等
渐近无偏是指n趋于无穷时，期望趋于真值。
2. 有效性：方差越小越有效，因为方差小的随机变量更为集中
3. 一致性：N很大时，估计值的方差趋于0.
（五）工程应用
1. 求取系统的频响函数
（1）通过自谱来求取\(H(f)\)
\(Y(f) = H(f) \cdot X(f)\)
两端乘以各自的复共轭并求期望
\(S_y(f) = |H(f)|^2S_x(f)\)
上式反映输入与输出的功率谱密度和频率响应函数之间的关系；
式中没有频率响应函数的相位信息，因此不可能得到系统的相频特性。但是可以抑制噪声。
（2）通过互谱来求取\(H(f)\)
\(Y(f) = H(f) \cdot X(f)\)
在两端乘以X(f)的复共轭并求取期望
\(S_{xy}(f) = H(f) \cdot S_x(f)\)
因为\(S_x(f)\)为实偶函数，频响函数的相位变化完全取决于互谱密度函数的相位变化。
（3）重要结论
通常一个测试系统会受到噪声的干扰，但输入信号与噪声是独立无关的，因此它们的互相关为0.也就是说，在用互谱和自谱求取系统频响函数时不会受到系统干扰的影响。
2. 相干函数
（1）定义
\(\gamma_{xy}^2 = \frac{|S_{xy}(f)|^2}{S_x(f) \cdot S_y(f)}\)
\(0 \leq \gamma_{xy}^2 \leq 1\)
若为0，则x(t)和y(t)在频率f上完全不相干，若为1，则完全相干，若明显小于1，则说明信号受到噪声干扰，或说明系统具有非线性。
（2）应用
相干函数常用来检验信号之间的因果关系，比如鉴别结构的不同响应之间的关系