Leetcode 123：买卖股票的最佳时机III（最详细的解法！！！）

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1] 
输出: 0 
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

解题思路

Leetcode 121：买卖股票的最佳时机（最详细的解法！！！）

Leetcode 122：买卖股票的最佳时机II（最详细的解法！！！）

有了前面两个问题的基础，我们首先想通过贪心解决这个问题。但是这个问题不行，因为有最多两比交易的限制。但是正因为如此这个问题也变得非常容易，我们可以参考第一个问题的解决思路。我们主要有这样几种状态buy1、buy2、sell1和sell2，涉及的状态方程为

• $buy1=max(buy1,-prices[i])$

• $sell1=max(sell1,buy1+prices[i])$

• $buy2=max(buy2,sell1-prices[i])$

• $sell2=max(sell2,buy2+prices[i])$

然后就是考虑边界问题，很显然buy1[0]=-prices[0]，而sell1=0（相当于买入后再卖出）、buy2-prices[0]（相当于买入后再卖出再买入）、sell2=0（相当于买入后再卖出再买入再卖出）。最后我们只要只需要返回sell2即可，因为sell2>=sell1一定成立。最后代码就是

class Solution:
    def maxProfit(self, prices):
        """
        :type prices: List[int]
        :rtype: int
        """
        if not prices:
            return 0

        len_prices = len(prices)
        buy1, sell1, buy2, sell2 = -prices[0], 0, -prices[0], 0

        for i in range(1, len_prices):
            buy1 = max(buy1, -prices[i])
            sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i])
            buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i])
            sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i])

        return sell2

我们也可以从第几次交易出发。对于第i天的收益

• $result[k,i]=max(result[k,i-1],prices[i]-prices[j]+result[k-1,j-1])$

其中我们的k表示第几次交易，而j<=i-1。这种方式写出来的代码要比上面的这个复杂，留给各位自己考虑。

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题，希望大家指出！！！