LeetCode第22题_括号生成

LeetCode 第22题：括号生成

题目描述

数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。

难度

中等

题目链接

https://leetcode.cn/problems/generate-parentheses/

示例

示例 1：

输入：n = 3
输出：["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]

示例 2：

输入：n = 1
输出：["()"]

提示

• 1 <= n <= 8

解题思路

方法一：回溯法

这道题可以使用回溯法，通过跟踪左括号和右括号的数量来生成所有有效组合。

关键点：

1. 左括号数量不能超过n
2. 右括号数量不能超过左括号数量
3. 当左右括号数量都等于n时，得到一个有效组合

具体步骤：

1. 使用StringBuilder构建当前括号组合
2. 记录已使用的左括号和右括号数量
3. 递归尝试添加左括号或右括号
4. 满足条件时将结果加入列表

时间复杂度：O(4ⁿ/√n)，这是第n个卡特兰数的渐近复杂度
空间复杂度：O(n)，递归栈的深度

方法二：动态规划

也可以使用动态规划来解决，通过构建子问题的解来得到最终结果。

思路：

1. dp[i]表示i对括号的所有有效组合
2. 对于dp[i]，可以通过在dp[j]的基础上添加括号得到
3. 利用已经计算出的子问题解

代码实现

C# 实现（回溯法）

public class Solution {
    public IList<string> GenerateParenthesis(int n) {
        List<string> result = new List<string>();
        BackTrack(result, new StringBuilder(), 0, 0, n);
        return result;
    }
    
    private void BackTrack(List<string> result, StringBuilder current, 
                          int leftCount, int rightCount, int n) {
        // 如果当前字符串长度等于2n，说明找到了一个有效组合
        if (current.Length == n * 2) {
            result.Add(current.ToString());
            return;
        }
        
        // 如果左括号数量小于n，可以添加左括号
        if (leftCount < n) {
            current.Append('(');
            BackTrack(result, current, leftCount + 1, rightCount, n);
            current.Length--; // 回溯，删除刚才添加的括号
        }
        
        // 如果右括号数量小于左括号数量，可以添加右括号
        if (rightCount < leftCount) {
            current.Append(')');
            BackTrack(result, current, leftCount, rightCount + 1, n);
            current.Length--; // 回溯，删除刚才添加的括号
        }
    }
}

C# 实现（动态规划）

public class Solution {
    public IList<string> GenerateParenthesis(int n) {
        List<List<string>> dp = new List<List<string>>();
        dp.Add(new List<string> { "" }); // dp[0]
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            List<string> current = new List<string>();
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                foreach (string left in dp[j]) {
                    foreach (string right in dp[i - 1 - j]) {
                        current.Add($"({left}){right}");
                    }
                }
            }
            dp.Add(current);
        }
        
        return dp[n];
    }
}

代码详解

回溯版本：

1. 使用StringBuilder：
   • 比字符串拼接更高效
   • 方便回溯时删除字符
2. 回溯条件：
   • leftCount < n 时可以添加左括号
   • rightCount < leftCount 时可以添加右括号
3. 终止条件：
   • 当前字符串长度等于2n

动态规划版本：

1. 状态定义：
   • dp[i]表示i对括号的所有有效组合
2. 状态转移：
   • 通过在子问题解的基础上添加括号
3. 构建方式：
   • 使用两层循环遍历所有可能的组合

执行结果

回溯版本：

• 执行用时：96 ms
• 内存消耗：45.2 MB

动态规划版本：

• 执行用时：88 ms
• 内存消耗：46.8 MB

总结与反思

1. 这是一道经典的回溯算法题目：
   • 考察对回溯思想的理解
   • 考察括号匹配规则的应用
   • 考察代码的优化能力
2. 两种解法比较：
   • 回溯：思路直观，实现简单
   • 动态规划：效率更高，但实现较复杂
3. 优化思路：
   • 使用StringBuilder提高效率
   • 剪枝优化回溯过程
   • 合理使用递归和迭代

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