3D数学基础 仿射变换 齐次坐标空间

1.定义

1.1 线性变换

线性变换指的是可以保留矢量加和标量乘的变换。

满足以下两个条件
$$f(x)+f(y)=f(x+y)$$
$$kf(x)=f(kx)$$

例如

缩放,用来表示统一放大k倍:$$f(x)=kx$$

1.2 仿射变换（平移变换）

平移变换不是线性变换，因为他不满足上面提出的两个条件

$$当f(x)=x+(a,b,c)，a、b、c为常数$$
则$$f(x)+f(x)=2x+2(a,b,c)$$
$$f(2x)=2x+(a,b,c)$$
并不相等

仿射变换指的是合并线性变换和平移变换的变换类型

1.3 齐次坐标空间

由于3X3矩阵不能表示平移操作，我们将其扩展到了4X4的矩阵。而为此，我们需要将原来的三维矢量转换为四维矢量（即齐次）。

当三维矢量转换为齐次坐标时
（1）普通三维坐标：将w分量设置为1，平移、缩放、旋转都会施加在该点上
（2）方向矢量：将w设置为1，平移将不会施加在该点上

先缩放、再旋转、最后平移

齐次坐标转换就是加一维、减一维

【参考】
UnityShader入门精要