物联网通信作业

根据函数的奇偶性可推断出函数的傅里叶级数的那些值？
奇函数 an=0      bn为积分2倍
偶函数 an为积分2倍  bn=0
因为an是乘以cos(偶函数) bn是乘以sin(奇函数)
奇函数x偶函数=奇函数   积分为0
偶函数x偶函数=偶函数   积分为2倍


这里的积分2倍是上面意思呢？
比如一个函数是这样
$$f(t)={\int }_{-T}^{T}f(t)dt$$
那么就可以写成
$$f(t)=2{\int }_0^{T}f(t)dt$$

例1

三角函数形式
$$a_0=2\times \frac{2}{T}{\int }_0^{\frac{\tau }{2}}1dt=\frac{2\tau }{T}$$

$$\frac{a_0}{2}=\frac{\tau }{T}$$

$$\begin{gathered} a_n=2\times \frac{2}{T}{\int }_0^{\frac{\tau }{2}}f(t)cos(nwt)dt \\ =\frac{4}{T}[\frac{1}{nw}sin(nwt){|}_0^{\frac{\tau }{2}}] \\ =\frac{4}{T}\frac{1}{nw}sin\frac{nw\tau }{2} \end{gathered}$$

$$b_n=0$$

$$\therefore f(t)=\frac{\tau }{T}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4}{T}\frac{1}{nw}sin\frac{nw\tau }{2}cosnwT$$

指数形式
$$\begin{gathered} F_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-inwt}dt \\ =\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}{e}^{-inwt}dt \\ =\frac{1}{T}\frac{e^{-inwt}}{-inw}{|}_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}} \\ \because \sin (\theta )=\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i} \\ \therefore F_n=\frac{2}{T}\frac{sin(nw\frac{\tau }{2})}{nw} \\ =\frac{\tau }{T}Sa(\frac{nw\tau }{2}),n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \end{gathered}$$

$$\therefore f(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }\frac{\tau }{T}Sa(\frac{nw\tau }{2})e^{inwt}$$

例2：

在这之前，我们先要了解单位冲击函数这个概念
$$\{\begin{array}{cc}\delta (t)=0,& t\ne 0\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1& \end{array}$$
对应图像：

这个函数可以理解为一个矩形，长很小，宽很大，面积为1
它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学模型。
$$f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)\mathrm{d}t=f(0)$$

$$f(t)\delta (t-a)=f(\mathrm{a})\delta (t-a)$$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-a)\mathrm{d}t=f(a)$$

---

试对下式求其傅里叶变换:

$$f(t)=\left(10t^2+9t+2\right)\delta (t)$$

$$\begin{gathered} 答：f(t)=2\delta (t) \\ \because {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t){\mathrm{e}}^{-i\omega t}\mathrm{d}t=1 \\ \therefore F_n={\int }_{-\infty }^{\infty }2\delta (t)e^{-iwt}dt \\ =2 \end{gathered}$$