8.8 证明精确4SAT是NP完全问题

8.8 证明精确4SAT是NP完全问题

题目描述

In the EXACT 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a disjunction of exactly four literals, and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove that EXACT 4SAT is NP-complete.

证明过程

已知3SAT是NP完全的，将3SAT规约为精确4SAT即可证明精确4SAT是NP完全的

证明3SAT规约到精确4SAT是多项式时间的

对3SAT做如下规约：
- 若子句中有3项，设其为 (x∨y∨z) ，则创建1个变量：
(x∨y∨z∨a)∧(x∨y∨z∨a¯)
- 若子句中有2项，设其为 (x∨y) ，则创建2个变量：
(x∨y∨a∨b)∧(x∨y∨a∨b¯)∧(x∨y∨a¯∨b)∧(x∨y∨a¯∨b¯)
- 若子句中有1项，设其为 (x) ，则创建3个变量：
(x∨a∨b∨c)∧(x∨a∨b∨c¯)∧(x∨a∨b¯∨c)∧(x∨a∨b¯∨c¯)∧(x∨a¯∨b∨c)∧(x∨a¯∨b∨c¯)∧(x∨a¯∨b¯∨c)∧(x∨a¯∨b¯∨c¯)

由此规约过程可以看出是在多项式时间内完成的

证明3SAT的解一定是精确4SAT的解

若3SAT存在一组解，那么其中的每个子句必为真
由以上规约过程可以看出，若原有项为真，那么添加变量后仍为真，所以3SAT的解一定是精确4SAT的解

证明精确4SAT的解一定是3SAT的解

若精确4SAT存在一组解，那么其中的每个子句必为真
以子句中有1项扩充后的为例，其余同理：
(x∨a∨b∨c)∧(x∨a∨b∨c¯)∧(x∨a∨b¯∨c)∧(x∨a∨b¯∨c¯)∧(x∨a¯∨b∨c)∧(x∨a¯∨b∨c¯)∧(x∨a¯∨b¯∨c)∧(x∨a¯∨b¯∨c¯) 为真
因为这里取遍了a、b、c的所有自身以及取反后组合的情况，所以其中一定存在一个子句使得除x外的其他3项全为假，那么x必为真，所以精确4SAT的解一定是3SAT的解