时间序列挖掘-三次指数平滑法(Holt-Winters)

一、为何这个方法被称为“指数”平滑法？

要找出答案，展开它的递推关系式即可知道：

  从这里可以看出，在指数平滑法中，所有先前的观测值都对当前平滑值产生了影响，但它们所起的作用随着参数 的幂的增大而逐渐减小。那些相对较早的观测值所起的作用相对较小，这也就是指数变动形态所表现出来的特性。从某种程度上来说，指数平滑法就像是拥有无限记 忆且权值呈指数级递减的移动平均法。

二、三次指数平滑法  

    ​​三次指数平滑算法可以对同时含有趋势和季节性的时间序列进行预测，该算法是基于一次指数平滑和二次指数平滑算法的。

• 一次指数平滑算法基于以下的递推关系：

      ​si=αx_i+(1-α)s_i-1 

      ​其中α是平滑参数，s_i是之前i个数据的平滑值，取值为[0,1]，α越接近1，平滑后的值越接近当前时间的数据值，数据越不平滑，α越接近0，平滑后的值越接近前i个数据的平滑值，数据越平滑，α的值通常可以多尝试几次以达到最佳效果。

      ​一次指数平滑算法进行预测的公式为：x_i+h=s_i，其中i为当前最后的一个数据记录的坐标，亦即预测的时间序列为一条直线，不能反映时间序列的趋势和季节性。

• 二次指数平滑保留了趋势的信息，使得预测的时间序列可以包含之前数据的趋势。二次指数平滑通过添加一个新的变量t来表示平滑后的趋势：

     ​ s_i=αx_i+(1-α)(s_i-1+t_i-1)

    ​  t_i=ß(s_i-s_i-1)+(1-ß)t_i-1

  二次指数平滑的预测公式为  x_i+h=s_i+ht_i  二次指数平滑的预测结果是一条斜的直线。

• 三次指数平滑在二次指数平滑的基础上保留了季节性的信息，使得其可以预测带有季节性的时间序列。三次指数平滑添加了一个新的参数p来表示平滑后的趋势。

  三次指数平滑有累加和累乘两种方法，下面是累加的三次指数平滑

     ​ s_i=α(x_i-p_i-k)+(1-α)(s_i-1+t_i-1)

      ​t_i=ß(s_i-s_i-1)+(1-ß)t_i-1

      ​p_i=γ(x_i-s_i)+(1-γ)p_i-k  其中k为周期

  累加三次指数平滑的预测公式为： x_i+h=s_i+ht_i+p_{i-k+(h mod k)}  注意：数据之魅P88此处有错误，根据Wikipedia修正。

  下式为累乘的三次指数平滑：

     ​ s_i=αx_i/p_i-k+(1-α)(s_i-1+t_i-1)

      ​t_i=ß(s_i-s_i-1)+(1-ß)t_i-1

      ​p_i=γx_i/s_i+(1-γ)p_i-k  其中k为周期

  累乘三次指数平滑的预测公式为： x_i+h=(s_i+ht_i)p_{i-k+(h mod k)}   注意：数据之魅P88此处有错误，根据Wikipedia修正。

三、参数选择

      ​α，ß，γ的值都位于[0,1]之间，可以多试验几次以达到最佳效果。

      ​s,t,p初始值的选取对于算法整体的影响不是特别大，通常的取值为s₀=x₀,t₀=x₁-x₀,累加时p=0,累乘时p=1.

四、重要说明

    ​    ​一次指数平滑所得的计算结果可以在数据集范围之外进行扩展，因此也就可以用来进行预测。预测也非常简单：

其中， 是最后一个已经算出来的值。也就是说，一次指数平滑法得出的预测在任何时候都是一条直线。

刚刚描述的一次指数平滑法适用于没有总体趋势的时间序列。如果用来处理有总体趋势的序列，平滑值将往往滞后于原始数据，除非 的值接近1，但这样一来就会造成不够平滑。

    ​    ​二次指数平滑法保留了趋势的详细信息，从而改正了这个缺点。换句话说，我们保留并更新两个量的状态：平滑后的信号和平滑后的趋势。它有两个等式和两个拌合参数：

​     ​    ​我们先看看第二个等式。这个等式描述了平滑后的趋势。当前趋势的未平滑“值”是当前平滑值和上一个平滑值的差；也就是说，当前趋势告诉我们在上一个 时间步长里平滑信号改变了多少。要想使趋势平滑，我们用一次指数平滑法对趋势进行处理，并使用拌合参数 。为获得平滑信号，我们像上次那样进行一次混合，但要同时考虑到上一个平滑信号及趋势。第一个等式的最后那个项可以对当前平滑信号进行估计——假设在单个 时间步长里我们保持着上一个趋势。

    ​    ​若要利用该计算结果进行预测，我们就取最后那个平滑值，然后每增加一个时间步长，就在该平滑值上增加一次最后那个平滑趋势：

​
 

    ​    ​最后，我们给三次指数平滑法添加第三个量，用来描述季节性。我们有必要区分一下累加式和累乘式季节性，累加式对应的等式：

 

累乘式的等式：

 

其中，pi 是指“周期性”部分， 是这个周期的长度。前面的等式中也包含预测的等式。
所有的指数平滑方法都是基于递推关系的，这表明我们要先设定初始值才能使用它们。选择什么样的初始值并不特别重要：指数式衰减规律说明所有的指数平滑方法的“记忆”能力都是很短的，只需经过几个时间步长，初始值的影响就会变得微乎其微。一些合理的初始值：

 

且

 

对三次指数平滑法而言，我们必须初始化一个完整的“季节”的值，不过我们可以简单地设置为全1(针对累乘式)或全0(针对累加式)。只有当序列的长度较短时，我们才需要慎重考虑初始值的选取。

本文主要参考以下网上资源进行整理：

http://www.dataguru.cn/article-3235-1.html