正交频分复用(OFDM)原理及实现
目录
1.OFDM原理
1.1时域正交与基带信号
1.2频域正交与频率间隔Δf
2.基带信号的调制框图
3.OFDM调制与IDFT
4.串行比特流怎么进行IDFT
1.OFDM原理
1.1时域正交与基带信号
[1]OFDM的核心就是利用各个子载波的正交性，信号的正交性是什么呢？就是无论两个函数（信号的表达式称为函数）的幅值为多少，在确定的一个时间周期内相乘，其积分总是等于0（也就是面积相加为0）。比如最简单的一对正交函数sin(t)和sin(2t),其中红色是sin(t)，蓝色是sin(2t)。他们均在2π时间内具有完整的周期，各自在2π时间内的积分问为0（正负面积相加为0）。而sin(t)*sin(2t)的图像为：
可以大概地看出，图像中正负面积相加同样为0，也就是：
那么如果使得sin(t)的幅度为a，sin(2t)的幅度为b，也就是将a调制于sin(t)，将b调制于sin(2t)，同时传输这两个调制了信号的正弦波（子载波）：a*sin(t)+b*sin(2t)，在接收时又分别对两路子载波进行积分，也就是：
这样就将原始信息a和b解调出来了，两路子载波互不干扰，而OFDM就是通过多路互不干扰的子载波传递了不同的信息。而由于子载波的正交性，其频率间隔很小，使得频带利用率很高。
设f0~fN-1是以Δf（能使每个子载波互相正交的频率间隔）为频率间隔的N个频率，那么就有：
由于正弦函数与余弦函数的正交关系，上式还可以扩展得到OFDM的基带信号表达式：
1.2频域正交与频率间隔Δf
对限制在[0,2π]内的sin(t)信号，相当于无限长的sin(t)信号乘以一个[0,2π]上的门信号（矩形脉冲），其频谱为两者频谱的卷积。sin(t)的频谱为冲激，门信号的频谱为sinc信号（即sin(x)/x信号）。冲激信号卷积sinc信号，相当于对sinc信号的搬移。所以分析到这里，可以得出[0,2π]内的sin(t)信号时域波形其对应的频谱如下[3]：
sin(2t)的频谱分析基本相同。需要注意的是，由于正交区间为[0,2π]，因此sin(2t)在相同的时间内发送了两个完整波形。相同的门函数保证了两个函数的频谱形状相同，只是频谱被搬移的位置变了[3]：
将sin(t)和sin(2t)所传信号的频谱叠加在一起，正交在频域看就是他们的主瓣关系以及零点关系，如下：
那么子载波的间隔怎么取呢？即下图中的Δf ：
假设s(t)的一个码元周期是Ts,即Ts内所有的子载波波形分别代表一个码元，且子载波都应该正交，就是任意两个子载波在Ts内的积分为0，幅度不影响，有如下[4]：
![=\frac{1}{2}\int_{0}^{T_{s}}cos[2\pi(f_{i}-f_{j})t] dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{T_{s}}cos[2\pi(f_{i}+f_{j})t]dt](http://img.e-com-net.com/image/info8/5a2e805f3c8944a0909ebf1648224c29.gif){kind=small}
![=\frac{sin[2\pi(f_{i}-f_{j})T_{s}]}{2\pi(f_{i}-f_{j})}+\frac{sin[2\pi(f_{i}+f_{j})T_{s}]}{2\pi(f_{i}+f_{j})}](http://img.e-com-net.com/image/info8/8afa478048a34f9fa391935f0b5ac641.gif){kind=small}
上式等于0的即为分母等于零：
m,n为整数，即子载波频率：
要求子载波满足：
，k为整数， 最小子载波间隔：
2.基带信号的调制框图
设一个OFDM系统有N个子信道，第k个子载波公式为：
，其中k=0,1,...N-1
（注意这里中间的加号变成了减号是为了推导下面的复频域信号方便）子载波是承载所要传递的信息的正/余弦波，那么它怎么体现所承载的信息内容？幅度。频率是用来区分哪个子载波的。
一路子载波包括两路正交的信号（任意频率的正弦余弦波都相互正交），这就可以看做IQ信号。下图是单个子载波的IQ调制：
把N个携带信息的子载波累加，就得到了OFDM信号的模拟形式：
![s(t)=\sum_{k=0}^{N-1} \left [ a_{k} cos(2\pi f_{k}t) - b_{k} sin(2\pi f_{k}t) \right ]](http://img.e-com-net.com/image/info8/a68d5f3da19e472ebb255d1a9f06211a.gif)
其中
，意思是所有子载波的一个码元周期
的连续波形。注意我们这里得到的是基带信号，也就是:
所以根据s(t)的公式，我们可以对每个子载波进行IQ调制,把所有的子载波中的I路加起来，把所有Q路加起来，基带信号的输出结果就是两路IQ信号，一路cos,一路sin，（关于调制方式可以是QPSK，QAM等）如下图所示：
解调框图就是对接收的s(t)乘以相应载波并积分就得到相应载波承载的信息ak或bk了，详细内容参考资料[6].
然而理论上可行，实际生成多个子载波然后分别调制后求和，就很难了；是否可以避免一个一个的调制后再求和，而是直接生成求和后的信号呢？当然可以，用IDFT。
3.OFDM调制与IDFT
上述信号s(t)可以写成复指数表示：
![s(t)= Re[\sum_{k=0}^{N-1} (a_{k}+jb_{k})e^{j2\pi f_{k}t}]](http://img.e-com-net.com/image/info8/17c05f2cab2c45539d69127e2d82fced.gif)
原因： 
![=\sum_{k=0}^{N-1} [a_{k} cos(2\pi f_{k}t) - b_{k} sin(2\pi f_{k}t)] +\mathbf{ j}\sum_{k=0}^{N-1}[b_{k} cos(2\pi f_{k}t) + a_{k} sin(2\pi f_{k}t)]](http://img.e-com-net.com/image/info8/bbbbfd13871a42208092ab7ded8efee2.gif)
![z(t)= Im[\sum_{k=0}^{N-1} (a_{k}+jb_{k})e^{j2\pi f_{k}t}]](http://img.e-com-net.com/image/info8/daf08eb7ecaa4764b0f7b1b4894ea3ae.gif)
其中Re[]是取实部操作， Im[]是取虚部操作，所以s(t)的复指数形式的调制框图就不言而喻了，参考[6].
因为硬件实现上复数是没有意义的，复数只是数学计算上才有意义。我们硬件实现时传递的两路信号I和Q也都是实数，来代表复数。不要纠结这两个式子的关系，只要做到硬件实现和数学计算上的对应就可以了。
这个式子是模拟信号，我处理的是离散的数字信号，带入
，在一个码元周期内采样N点即
带入得到信号采样后的离散OFDM基带信号：
![s(n)=Re[\sum_{k=0}^{N-1} (a_{k}+jb_{k})e^{j \frac{2\pi}{N} k n} ] ,n=0,1,2,...N-1](http://img.e-com-net.com/image/info8/9602924889ce44e9b6a14600fa51c2a5.gif)
注意这里子载波个数k和采样点n都是N个。
说到这里，很明显上式就是IDFT的形式了，输入就是N个单独子载波的
，输出就是子载波叠加后信号进行N点采样的N个数据点。
4.串行比特流怎么进行IDFT
那么对应的是什么呢？
事实上，原始数据是串行的二进制数据，我们把数据分成帧，一帧F比特就是合成后的s(t)在一个码元周期的数据，F比特分成N组：
，N组分别对应N个子载波，每组的比特数可以不同，因为每个子载波可以采用不同的调制方式。
将每组中的
个比特看作是一个
进制码元 
，则
,例如16进制对应4个比特，假设这4比特为1100，我们采用16QAM映射，根据星座图
调制后的相位45度，振幅
,即把1100映射为
,这就是，当然我们会把a和b均用二进制表示，这就完成了把一路子载波上的信息映射成两路信号I和Q。假设每个子载波调制方式相同，我们把所有数据映射完后的示意图如下：
最终，我们得到了IDFT的输入：，使用IFFT算法即可得到输出的离散的s(n),对应s(t)的N个采样点。
当然，实际实现中我们的数据在进行IFFT之前和之后都要进行一系列的编码和处理等，这个我会另外再写博文详细讲解。
参考资料：
1.OFDM基本原理及简单实例应用
2.通信里 星座图 到底是什么意思啊?
3.给"小白"图示讲解OFDM的原理
4.《通信原理》樊昌信第六版
5.OFDM专题之输入的复信号从何而来
6.OFDM专题之理解原理图（暂不包含用IFFT以及FFT的原理图形式）