概率与期望

最近考试一直有概率期望题，而我连最简单的期望，概率都不会算。
于是决定认真的学习一下。

在总结之前，讲述一个我一直都忽略的性质：

期望的线性性：对于两个不相关的随机变量x,y,E(x±y)=E(x)±E(y),E(xy)=E(x)E(y),E(x/y)=E(x)/E(y).

下面来总结一下方法：

1.推式子.
    这个方法一般是用到了等比数列求和，极限等思想来解决问题。
2.递推或动态规划.
    这是求解概率，期望问题的最常见的套路。其重要的是确定好思考的方向，不要将每个状态独立起来，而考虑对整体的影响。不然对于一些东西，求解并不方便。更要考虑优化动态规划，来达到更优的复杂度。
3.迭代.
    动态规划要求问题无后效性， 而如果问题有不可避免的后效性， 动态规划就无能为力了。 这时我们可以采用迭代的方法来进行计算。在题目中没有出现极大或极小的概率且收敛较快时，可以使用这个方法，对于一些题目可以做到较优秀的复杂度。对于可能出现无限（也就是环）情况的，迭代至达到所求解的精度为止。此外， 迭代法也未必是要解决有后效性的问题， 只要问题有收敛性， 迭代都可以起到一定的作用。
4.高斯消元.
    对于出现无限（环）的情况时，且精度要求较高，可以考虑列出期望-概率系统（概率—期望系统是一个带权的有向图，可以存在环），运用高斯消元来求解。但是对于环之间满足一个偏序时，可以用等比数列求和来求解，得到更优秀的复杂度。

问题分析:

    对于一般的有限状态的问题，可以通过一般的递推，动态规划来求解。如果单纯的动态规划复杂度太高，且收敛较快，可以尝试使用迭代+动态规划来求解。
    对于出现环的题目，尝试对问题建图，运用高斯消元来求解。
    当然，如果概率比较难求解时，不妨用期望来间接求解。
    P(x)=E(x)/E(all).

对于期望DP一般是逆推，记忆化搜索的写法可以很清楚的明白为什么。而概率DP一般是正着推。