决策单调性优化

决策单调性是对于一些dp式子，比如说$ans[i]=\max (a[j]+\sqrt{i-j})(j<i)$
如果在一个$i$满足$a[j]+\sqrt{i-j}<a[k]+\sqrt{i-k}$且$j<k$，那么可以发现在$i$变大的时候$j$也一定会比k劣，没有优于$k$的可能。
但是对于这个决策单调性的利用方式却很多。
1.四边形不等式优化二维$dp$，利用$dp[i][j-1]$的决策点$<=dp[i][j]$的$<=dp[i+1][j]$的。在求解$dp[i][j]$的时候就可以缩小决策点范围，做到$O(n^2\ast d)$，其中转移一次的复杂度为$O(d)$
2.分治法优化形如$dp[i][0n]$转移至$dp[i+1][0n]$
这个就是用分治，$solve(l,r,ql,qr)$表示对于$dp[i+1][ql到qr]$的决策点已锁定在$dp[i][l,r]$间，继续往下分治，每次（扫$l$到$r$一遍）找到$mid=\frac{ql+qr}{2}$的决策点$k$，然后执行$solve(l,k,ql,mid-1)$,$solve(k,r,mid+1,qr)$.
和后面那个比起来编程复杂度基本为$0$.。。。
3.二分+单调队列维护
既然点的决策点满足单调性，那么我们可以反过来，决策点能够作为最优决策点的点一定是连续的一段区间。
比如说我们用s[i]表示i的最优决策点。
可能它是这样的：
s : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…
= 1 1 2 2 2 3 3 5 6 7 8 …
所以用单调队列维护这些决策点和他们的影响区间。。。。。。
加入一个新点的时候先看能不能将队尾直接挤出，不能再用二分求出各自的影响区间。
细节超多，常数较上一个小了五分之一,也比上一个实用。

例题：[POI2011]Lightning Conductor

分治法

#include
#define maxn 500005
using namespace std;

int n,a[maxn],ans[2][maxn];
inline double calc(int u,int v){ return sqrt(abs(v-u))+a[u]; }
void solve(int l,int r,int ql,int qr,int ans[maxn])
{
	if(l>r || ql>qr) return;
	int Minloc = l,mid=(ql+qr)>>1;double tmp = calc(l,mid) ,res = 0;
	for(int i=l+1;i<=r && i<=mid;i++) if(tmp<=(res=calc(i,mid))) tmp = res , Minloc = i;
	ans[mid] = max(ans[mid] , int(ceil(tmp)) - a[mid]);
	solve(l,Minloc,ql,mid-1,ans),solve(Minloc,r,mid+1,qr,ans);
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	solve(1,n,1,n,ans[0]);
	for(int i=1;i<n-i+1;i++) swap(a[i],a[n-i+1]);
	solve(1,n,1,n,ans[1]);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",max(ans[0][i],ans[1][n-i+1]));
}

单调队列法：

#include
#define maxn 500005
using namespace std;

char cb[1<<15],*cs=cb,*ct=cb;
#define getc() (cs==ct&&(ct=(cs=cb)+fread(cb,1,1<<15,stdin),cs==ct)?0:*cs++)
inline void read(int &res){ char ch;for(;!isdigit(ch=getc()););for(res=ch-'0';isdigit(ch=getc());res=res*10+ch-'0'); }
int n,a[maxn],ans[2][maxn];
inline double calc(int u,int v){ return a[u]+sqrt(abs(u-v)); }

void solve(int ans[maxn])
{
	deque<int>q;
	static int l[maxn],r[maxn];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(;q.size()>1 && calc(q.back(),l[q.back()]) <= calc(i,l[q.back()]);q.pop_back());
		if(!q.empty())
		{
			int L = max(l[q.back()],i) , R = r[q.back()]+1;
			for(int mid;L<R;)
			{
				mid = (L+R)>>1;
				if(calc(i,mid) >= calc(q.back(),mid)) R = mid;
				else L = mid+1;
			}
			l[i] = L , r[i] = n;
			r[q.back()] = L-1;
		}
		else l[i] = i , r[i] = n;
		q.push_back(i);
		for(;!q.empty() && r[q.front()] < i;q.pop_front());
		ans[i] = ceil(calc(q.front(),i)) - a[i];
	}
}

int main()
{
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
	solve(ans[0]);
	for(int i=1;i<n-i+1;i++) swap(a[i],a[n-i+1]);
	solve(ans[1]);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",max(ans[0][i],ans[1][n-i+1]));
}