生成树

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生成树

首先定义一个无向连同带权图 

G=(V,E,W)  w(e)∈W是边e的权 （其中V表示顶点集合，E表示边集，W表示权）

G的一颗生成树T是包含G的所有顶点的树，树中各边的权之和W(T)称为树的权，具有最小权的生成树称为G的最小生成树

实例

G=(V,E,W) ，V={1，2，3，4，5，6}

E={{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，6}，{5，6}}  如下图所示

最小生成树（权值最小）下图所示

生成树的性质

设G是n阶的连通图

• T是G的生成树当且仅当T无圈且有n-1条边（无圈：没有回路）如下图

• 如果T是G的生成树，e∈T，那么T∪{e}含一个圈c  如下图

• 去掉c的任意一条边，就得到G的另外一棵树T‘ 如下图

算法步骤

生成树性质的应用

• 算法步骤：选择边

       约束条件：不形成回路

       截至条件：边数达到n-1

• 改进生成树的方法

       在T中加一条非树边e，形成回路c，在c中去掉一条非树边ei，形成一颗新的生成树T‘      W(T’)-W(T) = W(e)-W(e’)

       若W(e)<=W(e’)则W(T’)<=W(T)