欧拉函数线性筛（模板）

关于欧拉函数筛法，之前一直用的O（n ^2）算法

phi[1] = 1;//边打表边筛选  
    for(int i = 2; i < 1005; i ++)phi[i] = i;  
    for(int i = 2; i < 1005; i ++)  
        if(phi[i] == i)  
        for(int j = i; j < 1005; j += i)  
            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);

其实如果数据小的话这样也挺快

可是如果数据一大它就不太行了，相比之下，另一个欧拉函数线性筛法时间复杂度明显低于O（n^2)，接近于O（n），故称之为线性筛

关于其实现方式有三条定理需要注意：

1.  phi(p) == p-1 因为素数p除了1以外的因子只有p，所以与 p 互素的个数是 p - 1个

2 . 如果i 与 p 互质, 那么 phi(i * p) == phi(i) * (p-1)

3. 如果i 与 p 不互质, 那么 phi(i * p) == p * phi(i)

关于三条定理的证明网上很多也很简单在这里不赘述

模板：

#include    
#include    
#define N 40000    
using namespace std;    
int n;    
int phi[N+10],prime[N+10],tot,ans;    
bool mark[N+10];    
void getphi()    
{    
   int i,j;    
   phi[1]=1;    
   for(i=2;i<=N;i++)//相当于分解质因式的逆过程    
   {    
       if(!mark[i])    
           {    
             prime[++tot]=i;//筛素数的时候首先会判断i是否是素数。    
             phi[i]=i-1;//当 i 是素数时 phi[i]=i-1    
             }    
       for(j=1;j<=tot;j++)    
       {    
          if(i*prime[j]>N)  break;    
          mark[i*prime[j]]=1;//确定i*prime[j]不是素数    
          if(i%prime[j]==0)//接着我们会看prime[j]是否是i的约数    
          {    
             phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;    
          }    
          else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其实这里prime[j]-1就是phi[prime[j]]，利用了欧拉函数的积性    
       }    
   }    
}    
int main()    
{    
    getphi();    
}